AM1-Curs-03

Șiruri de puncte din \mathbb{R}^n

Observație. Pentru detalii referitoare la șirurile de numere reale vezi pagina.

Definiție

Se numește șir de puncte din \mathbb{R}^n orice funcție f:\mathbb{N} \to \mathbb{R}^n.

Exemple de șiruri

Un șir de puncte din \mathbb{R}^n se va nota prescurtat \left(x^{(k)}\right)_{k\in \mathbb{N}}, unde

    \[x^{(k)} = \left( x_1^{(k)}, x_2^{(k)}, \ldots , x_n^{(k)} \right), \, k\in \mathbb{N}\]

Un șir de numere reale se va nota \left( x_n \right)_{n\ge 1}. Detalii referitoare la șirurile de numere reale pot fi găsite aici.

Definiție

Punctul a = \left(a_1, \ldots, a_n\right) \in \mathbb{R}^n este limita șirului \left(x^{(k)}\right)_{k\in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}^n dacă în afara oricărei vecinătăți a punctului a se găsesc cel mult un număr finit de termeni ai șirului. În acest caz se utilizează notația

    \[\lim_{k\to \infty} x^{(k)}=a.\]

Fie \left(x^{(k)}\right)_{k\in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}^n un șir de puncte din \mathbb{R}^n și a\in \mathbb{R}^n. Atunci

    \[\lim_{k\to \infty} x^{(k)} =a \Longleftrightarrow \forall \varepsilon >0, \exists N(\varepsilon) \in \mathbb{N} \text{ astfel încât } \forall n \ge N(\varepsilon) \text{ are loc } \left\| x^{(k)} - a\right\| < \varepsilon. \]

 

Teoremă

Fie \left(x^{(k)}\right)_{k\in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}^n, cu x^{(k)} = \left( x_1^{(k)}, x_2^{(k)}, \ldots, x_n^{(k)}\right) și a = \left(a_1,a_2, \ldots, a_n\right). Atunci

    \[ \lim_{k\to \infty} x^{(k)} = a \Longleftrightarrow \cases{ \lim\limits_{k\to \infty} x_1^{(k)} = a_1 \cr \lim \limits_{k\to \infty} x_2^{(k)} = a_2 \cr \vdots \cr \lim\limits_{k\to \infty} x_n^{(k)} = a_n.} \]


Exerciții și probleme pot fi găsite aici [Tema 3].


Link-uri utile