Șiruri de numere reale

Orice funcție f: \mathbb{N} \to \mathbb{R} se numește șir de numere reale (link).

Aspecte referitoarea la reprezentarea grafică a unui șir de numere reale pot fi găsite aici.

Șirul (x_n)_{n\ge 1} este crescător dacă x_n\le x_{n+1} pentru orice n\in\mathbb{N}^*.

Șirul (x_n) este strict crescător dacă x_n < x_{n+1} pentru orice n\in\mathbb{N}^*.

Șirul (x_n) este descrescător dacă x_n\ge x_{n+1} pentru orice n\in\mathbb{N}^*.

Șirul (x_n) este strict descrescător dacă x_n > x_{n+1} pentru orice n\in\mathbb{N}^*.

Oricare din cele patru tipuri de șiruri definite mai sus este un șir monoton.

Teoremă

Șirul de numere reale (x_n)_{n\ge 1} are limita l \in \mathbb{R} dacă și numai dacă în afara oricărei vecinătăți V\in\mathcal{V}(l) rămâne un număr finit de termeni ai șirului.

 

Exemplu

Să se arate că șirul \left(a_n\right)_{n\ge 1}, cu termenul general a_n = \frac{n-1}{2n+1} pentru orice n\ge 1 are limita L=\frac{1}{2}.

Pentru orice n\ge 1, inegalitatea

    \[\left| a_{n}-L\right| =\left| \frac{n-1}{2n+1}-\frac{1}{2}\right| <\varepsilon\]

implică \left| \dfrac{2n-2-2n-1}{2(2n+1)}\right| <\varepsilon sau, în mod echivalent,

(1)   \begin{equation*} \frac{3}{2(2n+1)}<\varepsilon . \end{equation*}

În inegalitatea de mai sus se presupune cunoscută valoarea lui \varepsilon, deci trebuie determinată mulțimea valorilor admisibile ale lui n. Atunci, rescriem inegalitatea sub forma

    \[\dfrac{2(2n+1)}{3}>\dfrac{1}{\varepsilon }\]

ceea ce este echivalent cu

(2)   \begin{equation*} n>\left( \frac{3}{2\varepsilon }-1\right) \cdot \frac{1}{2}. \end{equation*}

Cum n\in \mathbb{N}, alegem

(3)   \begin{equation*} N(\varepsilon )=\left[ \frac{1}{2}\cdot \left( \frac{3}{% 2\varepsilon }-1\right) \right]+1. \end{equation*}

Indicații suplimentare

Calculul limitelor de șiruri conduce și la situații în care operațiile implicate sunt aparent imposibil de efectuat, așa numitele cazuri de nedeterminare. Acestea sunt