AM1-Curs-08

Calcul diferențial pentru funcții reale

Definiție.  Fie D\subset\mathbb{R} o mulțime nevidă, x_0\in D\cap D' și f:D\to\mathbb{R} o funcție. Spunem că funcția f are derivată în punctul x_0 dacă există în \overline{\mathbb{R}} limita

    \[ \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\,, \]

notată cu f^\prime(x_0) sau \frac { df}{dx}(x_0). Valoarea limitei este numită derivata funcției f în punctul x_0. Dacă în plus, limita este finită, adică f^\prime(x_0)\in\mathbb{R}, atunci spunem că funcția f este derivabilă în punctul x_0.

Definiție. Fie D\subset\mathbb{R} o mulțime nevidă, x_0\in D\cap D' și f:D\to\mathbb{R} o funcție. Dacă există în \overline{\mathbb{R}} limitele

    \[ f^\prime_s(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0 \atop x<x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0};\]

 

    \[f^\prime_s(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0 \atop x>x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}, \]

atunci f^\prime_s(x_0) se numește derivata la stânga a funcției f în punctul x_0, iar f^\prime_d(x_0) se numește derivata la dreapta a funcției f în punctul x_0.

Observație. Dacă există f^\prime_s(x_0) și f^\prime_d(x_0) finite și dacă f^\prime_s(x_0)=f^\prime_d(x_0), atunci funcția f este derivabilă în punctul x_0 și

    \[f^\prime(x_0)=f^\prime_s(x_0)=f^\prime_d(x_0).\]

Reguli de derivare

Derivata funcției constante [link]

Derivata funcției sumă [link]

Tabel de derivate [link]