Calculul unei integrale Riemann
Enunț. Folosind definiția integralei Riemann, arătați că funcția , este integrabilă Riemann pe intervalul .
Soluție. Fie o diviziune a intervalui și un sistem de puncte intermediare asociat diviziunii . Suma Riemann atașată este
Considerăm funcția , pentru care se poate aplica Teorema lui Lagrange pe intervalul și se obține că pentru orice există pentru care
Atunci
Cei doi termeni ai sumei de mai sus sunt evaluați independent. În primul rând
iar în al doilea rând, cum funcția , dată de este uniform continuă, avem că pentru orice , există astfel încât pentru orice cu are loc inegalitatea
Pentru avem , deci
Din cele de mai sus, putem spune că, pentru orice , există astfel încât pentru orice cu avem
ceea ce revine la faptul că
În concluzie, funcția , este integrabilă Riemann pe intervalul .
Enunț. Folosind suma Riemann atașată funcției , , diviziunii echidistante a intervalului și sistemului de puncte intermediare cu punctele din capătul superior al fiecărui subinterval, calculați integrala Riemann a funcției .
Soluție.
Cu alegerea indicată se obține suma Riemann (pentru detalii vezi link)
Atunci
Alte exemple pot fi găsite în lucrarea
M. Roșculeț et. al., Probleme de analiză matematică, Ed. Tehnică, București, 1993
Comentarii recente