Tema 6

Funcții integrabile Riemann și primitive

I. Folosind sumele Riemann calculați limita șirurilor

  1. a_{n}=\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{4n^{2}-i^{2}}};
  2. a_{n}=\sum\limits_{i=1}^{n}\dfrac{1}{n}\sin ^{2}\dfrac{i\pi }{n}.

II. Folosind integrarea prin părți calculați

    \[\int \frac{x e^{\arctan x} }{\sqrt{\left(1+x^2\right)^3}}\, dx.\]

III. Calculați

    \[\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}\ln \left( 1+tg x\right) dx.\]

IV. Se consideră funcția f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} prin f\left( x\right) =xe^{x^{2}}\left( 1+x^{2}\right). Determinați primitiva F:\mathbb{R}\to \mathbb{R} a funcției f, pentru care F\left(0\right) = 0.