Probleme cu „împărțirea”

Aici vor fi incluse probleme în care o anumită cantitate x este împărţită în două moduri diferite, de fiecare dată obţinându-se acelaşi cât n. Mai exact,

  • împărţitorul este a, dar pentru a se obţine câtul n mai este necesară o cantitate A,
  • împărţitorul este b<a, dar pentru a se obţine câtul n rămâne ca rest o cantitate B.

Pentru rezolvarea algebrică, problema se scrie sub forma unui sistem de două ecuaţii liniare cu două necunoscute

    \[\cases{ x+A = a \cdot n \cr x = b \cdot n +B }\]

Rezolvarea sistemului de ecuaţii de mai sus revine la determinaea lui n din egalitatea

    \[\left( a-b \right) \cdot n = A+B,\]

precum şi, determinarea cantităţii necunoscute x dintr-una din egalităţile

    \[x = a\cdot n -A = b \cdot n +B.\]

Pentru rezolvarea artimetică trebuie să observăm că avem două cantităţi x+A, respectiv x-B, care sunt împărţite la acelaşi număr n şi se obţin câturile diferite a, respectiv b. Diferența dintre cele două cantități (cei doi deîmpărțitori) va genera diferența dintre cele două câturi. Astfel, avem egalitatea

    \[A+B = \left(a-b\right)\cdot n,\]

care permite determinarea valorii numărului natural n

    \[n=\left(A+B\right) : \left( a-b \right).\]

Cantitatea x se poate determina din egalitatea

    \[x=n \cdot a - A\]

sau din egalitatea

    \[x = n\cdot b +B.\]

Probleme rezolvate

Problema 1. P:535 G.M. 12/2012
De ziua ei, Daria cumpără o pungă cu bomboane pentru colegii săi. După ce le numără constată că îi mai trebuie 13 bomboane pentru a le împărții câte trei și îi mai rămân 13 dacă le împarte colegilor câte două. Câți colegi are Daria și câte bomboane erau în pungă? [Soluție]

Problema 2.  O cantitate de mere trebuie pusă în lăzi. Dacă s-ar repartiza câte 5 kg de mere într-o ladă, atunci ar mai rămâne 25 kg de mere de pus în lăzi. Dacă s-ar repartiza câte 8 kg de  mere într-o ladă, atunci ar mai fi necesare 20 kg de mere. Câte lăzi şi câte kilograme de mere sunt? [Soluție]

Probleme propuse

Problema 1.
Pentru pregătirea unui concurs este disponibil un număr de coli de hârtie. Dacă se dau câte 8 pagini unui concurent, atunci ar mai fi necesare încă 150 de coli de hârtie. Dacă se dau câte 4 coli de hârtie fiecărui concurent, atunci ar rămâne 150 de coli de hârtie. Aflați câte coli de hârtie sunt disponibile și câți concurenți sunt așteptați la concurs?

Problema 2. [G.M.J. 12/2014 ]
Pentru aniversarea zilei de naștere Măriuca gândește:”Dacă pun câte 5 prăjituri pe farfurie, îmi rămân 8 prăjituri. Dacă aș pune câte 7 prăjituri pe farfurie mi-ar rămâne 2 farfurii libere”. Câte prăjituri și câte farfurii are Măriuca?

Înapoi la Didactica aritmeticii