Matematica din povestiri (1)

Posted By Horvat-Marc Andrei on iun. 28, 2017 | 0 comments

Povestea celor $n$ pâini

Povestea este simplă (vezi). Doi călători de întâlnesc cu un al treilea şi se hotărăsc să mănânce împreună. Primul călător pune la dispoziţie trei pâini, cel de al doilea călător are doar două pâini, iar cel de al treilea nu are pâini, însă îşi plăteşte consumaţia dându-le 5 bani.

Problema apare când cei doi călători doresc să împartă banii primiţi. Cel cu două pâini doreşte să împartă banii în mod egal (fără a avea o justificare matematică), cel care a avut trei pâini vrea să ia trei bani şi să îi dea celuilalt doi bani (fiecare primeşte astfel câte un ban pentru fiecare pâine).

Repartizarea corectă este făcută de un judecător, care spune că cel cu trei pâini va primi patru bani, iar cel care a avut două pâini va primi un ban.

Calculul matematic este simplu: al treilea călător plăteşte cinci bani pentru $\frac{5}{3}$ pâini (adică un ban pentru o treime de pâine), din care $\frac{4}{3}$ pâini le primeşte de la primul călător, iar $\frac{1}{3}$ pâini primeşte de la cel de al doilea călător. Calculul matematic arată că judecata a fost dreaptă.

În continuare vom studia câteva generalizări ale acestei probleme.

Prima generalizare

Considerăm că avem tot trei călători, dintre care primul are $N_1$ pâini, cel de al doilea are $N_2$ pâini, iar cel de al treilea plăteşte suma $S$ pentru pâinea consumată. Pentru a stabili cum se vor împărţi echitabil banii, observăm că fiecare călător va consuma

$\frac{1}{3}\left(N_1+N_2\right)$

pâini. Din cele $N_1$ pâini, primul călător îi dă celui de al treilea călător

$c_1 = N_1 - \frac{N_1+N_2}{3} = \frac{2N_1-N_2}{3} \text{ p\^{a}ini}.$

Al doilea călător trebuie să dea celui de al treilea călător

$c_2 = N_2 - \frac{N_1+N_2}{3} = \frac{2N_2-N_1}{3} \text{ p\^{a}ini}.$

Din această ultimă relaţie se observă că dacă unul din călători nu are mai mult de jumătate din pâinea pe care o are celălalt, atunci va fi nevoit să plătească şi el. Cum $S$ este suma încasată pentru

$\frac{1}{3}\left(N_1+N_2\right)$

pâini, rezultă că primul călător va primi

$p_1 = \frac{S}{N_1+N_2} \cdot c_1 =S\cdot \frac{2N_1-N_2}{N_1+N_2} \text{ bani},$

iar ce de al doilea călător va încasa suma

$p_2 = \frac{S}{N_1+N_2} \cdot c_2 =S\cdot \frac{2N_2-N_1}{N_1+N_2} \text{ bani}.$

În cazul problemei originale avem $N_1=3$ pâini, $N_2=2$ pâini şi $S=5$ bani. Se obţine

$p_1 = 5\cdot\frac{2\cdot 3-2}{3+2}=4$

şi

$p_2 = 5\cdot \frac{2\cdot 2-3}{3+2}=1.$

Se observă că dacă $p_1 =p_2$ , atunci $N_1 = N_2$ , adică cei doi călători pot primi aceeaşi sumă de bani (asta ca să îi dăm dreptate celui de al doilea călător) doar dacă au acelaşi număr de pâini.

Să vedem în ce condiţii primul călător ar avea dreptate, adică pentru ce valori primul călător va primi $N_1$ bani dacă are $N_1$ pâini, iar cel de al doilea va primi $N_2$ bani pentru cele $N_2$ pâini pe care la are. În limbaj matematic aceste condiţii devin

$\left\{\begin{array}{l} N_1= S\cdot \frac{2N_1-N_2}{N_1+N_2} \\ N_2= S\cdot \frac{2N_2-N_1}{N_1+N_2}.\end{array}\right.$

Se elimină termenul $\frac{S}{N_1+N_2}$ din cele două ecuaţii şi se obţine

$\frac{N_1}{2N_1-N_2} = \frac{N_2}{2N_2 - N_1}.$

Această egalitate are loc numai dacă $N_1 =N_2$ . Deci, cei doi călători primesc atâţia bani câte pâini au avut, dacă ei au acelaşi număr de pâini $n$ şi li se plăteşte suma de $2n$ bani.

A doua generalizare

Presupunem de data aceasta că există $n$ , cu $n\in \mathbb{N}$ călători care au fiecare $N_k$ pâini, $k\in \left\{1,2, \ldots n\right\}$ şi există $p\in \mathbb{N}$ călători care nu au pâini dar plătesc suma $S$ pentru pâinea consumată, aici $n,p\in \mathbb{N}^\ast$ . Se pune problema împărţirii în mod corespunzător a sumei de bani. Numărul total de pâini

$N= \sum\limits^{n}_{k=1} N_k= N_1+N_2+\ldots+N_n$

este repartizat în mod egal la numărul total de meseni $n+p$ . Astfel un călător va mânca

$\frac{N}{n+p} = \frac{N_1+N_2+\ldots+N_n}{n+p} \text{ p\^{a}ini }$

şi va ceda

$c_k = N_k - \frac{N_1+N_2+\ldots+N_n}{n+p} \text{ p\^{a}ini,} k\in \left\{1,2,\ldots n\right\}.$

Se observă că un călător $k$ trebuie să deţină $N_k \ge \frac{N}{n+p}$ pâini, altfel va trebui să plătească şi el. Numărul de pâini cedate este

$C = \sum\limits^{n}_{k=1} c_k = N\left(1-\frac{n}{n+p}\right) = \frac{pN}{n+p}.$

Cu suma de bani $S$ se plătesc toate pâinile cedate. Suma de bani pe care o primeşte călătorul $k$ este

$p_k = S \cdot \frac{1}{C} \cdot c_k = S\cdot \frac{n+p}{pN} \cdot \left(N_k - \frac{N}{n+p}\right)\frac{\left(n+p\right)N_k -N}{N} = S\cdot\frac{1}{p}\cdot \left[\left(n+p\right)r_k - 1\right], k\in\left\{1,2,\ldots n \right\},$

unde $r_k = \frac{N_k}{N}$ , $k\in\left\{1,2,\ldots n \right\}$ reprezintă raportul dintre numărul de pâini deţinute de călătorul $k$ din numărul total de pâini.