Matematica din povestiri (1)

Povestea celor n pâini

Povestea este simplă (vezi). Doi călători de întâlnesc cu un al treilea şi se hotărăsc să mănânce împreună. Primul călător pune la dispoziţie trei pâini, cel de al doilea călător are doar două pâini, iar ce de al treilea nu are pâini, însă îşi plăteşte consumaţia dându-le 5 bani.

Problema apare când cei doi călători doresc să împartă banii primiţi. Cel cu două pâini doreşte să împartă banii în mod egal (fără a avea o justificare matematică), cel care a avut trei pâini vrea să ia trei bani şi să îi dea celuilalt doi bani (fiecare primeşte astfel câte un ban pentru fiecare pâine).

Repartizarea corectă este făcută de un judecător, care spune că cel cu trei pâini va primi patru bani, iar cel care a avut două pâini va primi un ban.

Calculul matematic este simplu: al treilea călător plăteşte cinci bani pentru \frac{5}{3} pâini (adică un ban pentru o treime de pâine), din care \frac{4}{3} pâini le primeşte de la primul călător, iar \frac{1}{3} pâini primeşte de la cel de al doilea călător. Calculul matematic arată că judecata a fost dreaptă.

În continuare vom studia câteva generalizări ale acestei probleme.

Prima generalizare

Considerăm că avem tot trei călători, dintre care primul are N_1 pâini, cel de al doilea are N_2 pâini, iar cel de al treilea plăteşte suma S pentru pâinea consumată. Pentru a stabili cum se vor împărţi echitabil banii, observăm că fiecare călător va consuma

    \[\frac{1}{3}\left(N_1+N_2\right)\]

pâini. Din cele N_1 pâini, primul călător îi dă celui de al treilea călător

    \[c_1 = N_1 - \frac{N_1+N_2}{3} = \frac{2N_1-N_2}{3} \text{ p\^{a}ini}.\]

Al doilea călător trebuie să dea celui de al treilea călător

    \[c_2 = N_2 - \frac{N_1+N_2}{3} = \frac{2N_2-N_1}{3} \text{ p\^{a}ini}.\]

Din această ultimă relaţie se observă că dacă unul din călători nu are mai mult de jumătate din pâinea pe care o are celălalt, atunci va fi nevoit să plătească şi el. Cum S este suma încasată pentru

    \[\frac{1}{3}\left(N_1+N_2\right)\]

pâini, rezultă că primul călător va primi

    \[p_1 = \frac{S}{N_1+N_2} \cdot c_1 =S\cdot \frac{2N_1-N_2}{N_1+N_2} \text{ bani},\]

iar ce de al doilea călător va încasa suma

    \[p_2 = \frac{S}{N_1+N_2} \cdot c_2 =S\cdot \frac{2N_2-N_1}{N_1+N_2} \text{ bani}.\]

În cazul problemei originale avem N_1=3 pâini, N_2=2 pâini şi S=5 bani. Se obţine

    \[p_1 = 5\cdot\frac{2\cdot 3-2}{3+2}=4\]

şi

    \[p_2 = 5\cdot \frac{2\cdot 2-3}{3+2}=1.\]

Se observă că dacă p_1 =p_2, atunci N_1 = N_2, adică cei doi călători pot primi aceeaşi sumă de bani (asta ca să îi dăm dreptate celui de al doilea călător) doar dacă au acelaşi număr de pâini.

Să vedem în ce condiţii primul călător ar avea dreptate, adică pentru ce valori primul călător va primi N_1 bani dacă are N_1 pâini, iar cel de al doilea va primi N_2 bani pentru cele N_2 pâini pe care la are. În limbaj matematic aceste condiţii devin

    \[\left\{\begin{array}{l} N_1= S\cdot \frac{2N_1-N_2}{N_1+N_2} \\ N_2= S\cdot \frac{2N_2-N_1}{N_1+N_2}.\end{array}\right.\]

Se elimină termenul \frac{S}{N_1+N_2} din cele două ecuaţii şi se obţine

    \[\frac{N_1}{2N_1-N_2} = \frac{N_2}{2N_2 - N_1}.\]

Această egalitate are loc numai dacă N_1 =N_2. Deci, cei doi călători primesc atâţia bani câte pâini au avut, dacă ei au acelaşi număr de pâini n şi li se plăteşte suma de 2n bani.

A doua generalizare

Presupunem de data aceasta că există n, cu n\in \mathbb{N} călători care au fiecare N_k pâini, k\in \left\{1,2, \ldots n\right\} şi există  p\in \mathbb{N} călători care nu au pâini dar plătesc suma S pentru pâinea consumată, aici n,p\in \mathbb{N}^\ast. Se pune problema împărţirii în mod corespunzător a sumei de bani. Numărul total de pâini

    \[N= \sum\limits^{n}_{k=1} N_k= N_1+N_2+\ldots+N_n\]

este repartizat în mod egal la numărul total de meseni n+p. Astfel un călător va mânca

    \[\frac{N}{n+p} = \frac{N_1+N_2+\ldots+N_n}{n+p} \text{ p\^{a}ini }\]

şi va ceda

    \[c_k = N_k - \frac{N_1+N_2+\ldots+N_n}{n+p} \text{ p\^{a}ini,} k\in \left\{1,2,\ldots n\right\}.\]

Se observă că un călător k trebuie să deţină N_k \ge \frac{N}{n+p} pâini, altfel va trebui să plătească şi el. Numărul de pâini cedate este

    \[C = \sum\limits^{n}_{k=1} c_k = N\left(1-\frac{n}{n+p}\right) = \frac{pN}{n+p}.\]

Cu suma de bani S se plătesc toate pâinile cedate. Suma de bani pe care o primeşte călătorul k este

    \[p_k = S \cdot \frac{1}{C} \cdot c_k = S\cdot \frac{n+p}{pN} \cdot \left(N_k - \frac{N}{n+p}\right)\frac{\left(n+p\right)N_k -N}{N} = S\cdot\frac{1}{p}\cdot \left[\left(n+p\right)r_k - 1\right], k\in\left\{1,2,\ldots n \right\}, \]

unde r_k = \frac{N_k}{N}, k\in\left\{1,2,\ldots n \right\} reprezintă raportul dintre numărul de pâini deţinute de călătorul k din numărul total de pâini.

Pentru n=2 şi p=1 se regăsesc rezultatele stabilite la prima generalizare.

Dacă un singur călător deţine N pâini şi le împarte cu alţi p călători, atunci

    \[p= S\cdot \frac{1}{p} \left(1+p - 1\right) = S.\]

Nefiind alt călător care să deţină pâini, este normal ca el să primească toată suma de bani.

Author: Horvat-Marc Andrei

Share This Post On

Submit a Comment