AM2-Curs-07
Sume Darboux
Fie o funcţie mărginită, adică există astfel încât
Fie o diviziune a intervalului , iar fie marginea inferioară, respectiv marginea superioară, a funcţiei pe subintervalul , oricare ar fi , .
Definiţie. Numărul real
se numeşte suma Darboux inferioară ataşată funcţiei şi diviziunii .
Numărul real
se numește suma Darboux superioară ataşată funcţiei şi diviziunii .
O reprezentare grafică a sumelor Darboux poate fi găsită aici.
Definiţie. Numim integrala Darboux inferioară numărul
iar integrala Darboux superioară este numărul
Criterii de integrabilitate Riemann
Teoremă (Criteriul lui Darboux de integrabilitate Riemann) Funcția mărginită este integrabilă Riemann pe intervalul dacă și numai dacă pentru orice există astfel încât pentru orice cu are loc inegalitatea
Printre consecințele acestui rezultat se numără:
Teorema 1. Orice funcție continuă este integrabilă Riemann pe intervalul .
Teorema 2. Orice funcție monotonă este integrabilă Riemann pe intervalul .
Teorema 3. Orice funcție mărginită care are un număr finit de puncte de discontinuitate, este integrabilă Riemann pe intervalul .
Comentarii recente