Funcții raționale simple

O funcție rațională f se numește funcție rațională simplă sau fracție simplă dacă are una din următoarele forme:

I. f\left(x\right):=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n-1}x+a_{n} cu n\in \mathbb{N} și a_{i}\in \mathbb{R}, i=\overline{0,n};

II. f(x):=\frac{A}{(x-a)^{n}}, unde n\in \mathbb{N}, a, A\in \mathbb{R};

III. f(x):=\frac{Ax+B}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}, unde n\in \mathbb{N}, A, B, a, b, c\in \mathbb{R} și b^{2}-4ac<0.

Orice altă funcție rațională f(x):=\dfrac{P(x)}{Q(x)}, este o combinație liniară de funcții raționale simple.

Teoremă. Fie funcția rațională f:D\rightarrow \mathbb{R}, cu f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}, unde P și Q sunt polinoame cu coeficienți reali, prime între ele și D=\{x\in \mathbb{R}\,\left| {\,Q(x)\ne 0\}}\right.. Dacă Q se descompune în factori ireductibili, adică

(1)   \begin{equation*} Q(x)=(x-x_{1})^{n_{1}}(x-x_{2})^{n_{2}}\ldots (x-x_{^{k}})^{n_{k}}(a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1})^{m_{1}}\ldots (a_{s}x^{2}+b_{s}x+c_{s})^{m/s} \end{equation*}

unde x_{1}, x_{2},\ldots ,x_{k}  sunt rădăcinile reale ale polinomului Q, iar \Delta _{i}=b_{i}^{2}-4a_{i}c_{i}<0, pentru
i=1,2,\ldots ,s și n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k},m_{1},m_{2},\ldots ,m_{s}\in \mathbb{N}^{*} cu

    \[ n_{1}+n_{2}+\ldots +n_{k}+2(m_{1}+m_{2}+\ldots +m_{s})=\text{grad}\,Q, \]

atunci există un polinom cu coeficienți reali p(x), și constantele reale A_{i}^{j}, i=\overline{1,k}, j=\overline{1,n_{i}}, B_{p}^{l}, C_{p}^{l}, p=\overline{1,s}, l=\overline{1,m} astfel încât funcția f se scrie în mod unic sub forma

    \[ f(x)=p(x)+\sum\limits_{i=1}^{k}\,\left( {\,}\frac{A_{i}^{1}}{x-x_{i}}+\frac{% A_{i}^{2}}{(x-x_{i})^{2}}+\ldots +\frac{A_{i}^{n_{i}}}{(x-x_{i})^{n_{i}}}% \,\right) + \]

(2)   \begin{equation*} +\sum\limits_{p=1}^{s}{\,\left( {\frac{B_{p}^{1}x+C_{p}^{1}}{% a_{p}x^{2}+b_{p}x+c_{p}}}\right. }+\frac{B_{p}^{2}x+C_{p}^{2}}{% (a_{p}x^{2}+b_{p}x+c_{p})^{2}}+\ldots +\left. {\frac{% B_{p}^{m_{p}}x+c_{p}^{m_{p}}}{(a_{p}x^{2}+b_{p}x+c_{p})^{m_{p}}}}\right) , \end{equation*}

pentru orice x\in D.

Alte detalii pot fi găsite aici.