AM1-Curs-01

Mulțimi și relații

 

Teoria mulţimilor este creaţia genială a matematicianului Georg Cantor.
Noţiunea de mulţime este o noţiune primară care trebuie acceptată ca fiind o colecţie de obiecte, numite elemente, având o caracteristică comună.

O mulţime poate fi dată (definită) prin enumerarea elementelor sale sau prin precizarea unei proprietăţi comune P a elementelor sale

    \[A = \left\{x | x \text{ are proprietatea } P \right\}.\]

Dacă x este un element al mulțimii A, atunci scriem x\in A, iar dacă y nu este element al mulțimii A atunci scriem y\notin A.

 

Definiţia 1.1. Mulțimea B este inclusă în mulțimea A dacă toate elementele mulțimii B sunt elemente ale mulțimii A, adică

    \[B \subset A \Leftrightarrow x \in A, \, \forall x\in B.\]

Definiția 1.2. Fie X și Y două mulțimi nevide și  G\subset X\times Y cu G\neq\emptyset. Tripletul \rho=(X,Y,G) se numește relație binară între mulțimile X și Y. Dacă \left( x, y\right) \in X\times Y, spunem că elementul x se află în relația \rho cu elementul y\in Y și scriem x\rho y, dacă \left( x, y \right) \in G.
Mulțimea

    \[ D_{\rho}:=\{x\in X |\,\exists\; y\in Y\; \text{ pentru care } \;\left(x,y\right)\in G\}\subset X,\]

se numește domeniul relației \rho, iar mulțimea

    \[C_{\rho}:=\{y\in Y|\;\exists\; x\in X\;\text{ pentru care }\; \left(x,y\right)\in G\}\subset Y,\]

se numește codomeniul relației \rho.

Definiția 1.3. Fie \rho=\left(X,Y,G\right) o relație binară între mulțimile X și Y, cu domeniul D_\rho\subset X și codomeniul C_\rho\subset Y. Dacă x\in D_\rho, se numește tăietură (secțiune) a relației \rho prin elementul x, mulțimea

    \[\rho[x]:=\left\{y\in Y|\;(x,y)\in G\right\}\subset C_\rho.\]

Definiția 1.4. Spunem că relația \rho este univocă dacă pentru orice x\in D_\rho, tăietura \rho[x] conține un singur element y\in C_\rho, adică există o singură pereche (x,y)\in G pentru fiecare x\in D_\rho. În caz contrar, adică dacă există x\in D_\rho astfel încât tăietura \rho[x] să conțină mai multe elemente y\in C_\rho, atunci spunem că relația \rho este multivocă.

Definiția 1.5. Relația binară \rho=\left(X,Y,G\right) se numește relație peste tot definită dacă domeniul relației D_\rho\subset X coincide cu X, adică D_\rho=X.

Definiția 1.6. Fie X și Y două mulțimi nevide și G\subset X\times Y. Relația binară f=\left(X,Y,G\right) între mulțimile X și Y se numește relație funcțională (sau funcție sau aplicație) dacă ea este univocă și peste tot definită, adică

    \[\forall\; x\in X,\;\exists\,!\;y\in Y \text{astfel \^{i}nc\^{a}t } \left(x,y\right) \in G \text{ sau } x f y\,.\]

Elementul y\in Y se notează f(x) și se numește valoarea funcției f în punctul x.

Exemple de funcții pot fi găsite la link1, link2.

Mulțimea numerelor reale

 

Există mai multe construcții ale mulțimii numerelor reale.

Axiomele mulțimii numerelor reale

Există trei grupe de axiome care definiesc mulțimea numerelor reale.

Axiomele structurii algebrice ale lui \mathbb{R}

În mulțimea \mathbb{R} sunt definite două operații algebrice interne:

  • adunarea (x,y)\longmapsto x+y
  • înmulțirea (x,y)\longmapsto x \cdot y.

Tripletul \left( \mathbb{R}, +, \cdot \right) este un corp comutativ.

Cu alte cuvinte, au loc următoarele proprietăți:

(1+) Asociativitatea adunării

    \[x+(y+z)=(x+y)+z,\;\forall\;x,y,z\in\mathbb{R}\]

(2+) Comutativitatea adunării

    \[x+y=y+x, \forall x,y\in \mathbb{R}\]

(3+) Existența elementului neutru pentru operația de adunare

    \[\exists\, 0\in\mathbb{R} \text{ astfel ca } 0+x=x+0=x,\;\forall \;x\in\mathbb{R}\]

(4+) Existența elementelor simetrizabile pentru operația de adunare

    \[\forall x \in \mathbb{R}, \exists -x \in \mathbb{R} \text{ astfel încât } x+(-x) = (-x) + x = 0\]

(5\cdot) Asociativitatea înmulțirii

    \[x\cdot (y \cdot z)=(x \cdot y) \cdot z,\;\forall\;x,y,z\in\mathbb{R}\]

(6\cdot) Comutativitatea înmulțirii 

    \[x \cdot y=y \cdot x, \forall x,y\in \mathbb{R}\]

(7\cdot) Existența elementului neutru pentru operația de înmulțire

    \[\exists\, 1\in\mathbb{R} \text{ astfel ca } 1 \cdot x = x \cdot 1 = x,\;\forall \;x\in\mathbb{R}\]

(8\cdot) Existența elementelor simetrizabile pentru operația de înmulțire

    \[\forall x \in \mathbb{R}\setminus \{0\}, \exists \frac{1}{x}=x^{-1} \in \mathbb{R} \text{ astfel încât } x \cdot x^{-1} = x^{-1} \cdot x = 1\]

(9) Distributivitatea înmulțirii față de adunare

    \[x \cdot \left( y + z \right) = x \cdot y + x \cdot z, \forall x,y,z \in \mathbb{R}.\]

Axiomele de ordine din mulțimea \mathbb{R}

(10) Reflexivitatea

    \[x\leq x,\forall x\in \mathbb{R}\]

(11) Tranzitivitatea

    \[x \leq y \text{ \c{s}i } y \leq z \text{ implic\u{a} } x\leq z\]

(12) Antisimetria 

    \[x \leq y \text{ \c{s}i } y \leq x \text{ implic\u{a} } x = y\]

(13) Relația de ordine este totală

    \[\forall x,y \in \mathbb{R} \text{ are loc } x \leq y \text{ sau } y \leq x\]

(14) Compatibilitatea relației de ordine cu adunarea

    \[x\leq y \Leftrightarrow x+z\leq y+z,\forall z\in\mathbb{R}\]

(15) Compatibilitatea relației de ordine cu înmulțirea

    \[0\leq x,\; 0\leq y\Rightarrow 0\leq x\cdot y\]

Axioma marginii superioare (axioma Cantor–Dedekind)

Pentru orice submulțime nevidă majorată A\subset\mathbb{R}, există marginea superioară \sup A\in\mathbb{R}.

Tema se găsește la acest link.