AM1 – Tema 1

Listă de probleme — AM1[curs1]

Problema am1c1p1
Fie A, B şi C trei mulţimi astfel încât
A\cup B = C, \left(A\cup C\right) \cap B = C, \left(A\cap C\right) \cup B = A.
Să se arate că A=B=C

Problema am1c1p2
Se consideră mulţimile

    \[A = \left\{ x \in \mathbb{N} | x = 28 + 3c, c\in \mathbb{N} \right\}\]

şi

    \[B = \left\{ x \in \mathbb{N} | x = 107 - 14d, d\in \mathbb{N} \right\}.\]

Să se determine A \cap B.

Problema am1c1p3
Să se determine cardinalul mulţimii

    \[A = \left\{ \left(a,b\right) | \overline{3a4b} > \overline{37ba} \right\}.\]

Problema am1c1p4
Să se determine cardinalul mulţimii

    \[A = \left\{x | x = \frac{n^2 + 2}{n^2-n+2}, n=\overline{1,100} \right\}.\]

Problema am1c1p5
Să se determine cardinalul mulţimii

    \[A = \left\{ \overline{abc} | \overline{abc} = \left(\overline{ac}\right)^2\right\}\]

Soluție

Problema am1c1p6
Să se arate că pentru orice n\in \mathbb{N}, n\ne 0 are loc egalitatea

    \[\frac{2}{n\left( n+1 \right) \left( n+2 \right)} = \frac{1}{n \left( n+1 \right)} - \frac{1}{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}.\]

Să se determine valoarea numărului

    \[S = \frac{1}{6} + \frac{25}{24} + \frac{121}{60} + \frac{361}{120} + \ldots + \frac{5041}{720}.\]