Distanțe

Exerciții & probleme

1. Pe mulţimea numerelor naturale nenule $\mathbb{N}^\ast$ se defineşte funcţionala $d : \mathbb{N}^\ast \times \mathbb{N}^\ast \to \mathbb{R}$ prin $d\left(x,y\right) = \left| \frac{1}{x} - \frac{1}{y} \right|, \text{ oricare ar fi } x,y\in \mathbb{N}^\ast$ . Arătați că $d$ este o metrică pe $\mathbb{N}^\ast$ .

2. Fie $\left( X, d \right)$ un spaţiu metric şi funcţionala $D : X \times X \to \mathbb{R}$ definită prin $D\left( x,y \right) = \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}.$ Să se arate că $\left( X, D \right)$ este un spaţiu metric.

3. Să se demonstreze că funcţionala $\rho : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ prin $\rho(x) = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}, \text{ oricare ar fi } x=(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2$ este o normă pe $\mathbb{R}^2$ .