Nedeterminarea 1^\infty

Cazul de nedeterminare 1^\infty se poate rezolva prin aplicarea următorului rezultat

Dacă șirul \left( a_n \right)_{n\ge 1} este astfel încât \lim\limits_{n\to \infty} a_n = 0, atunci

    \[\lim\limits_{n\to \infty} \left( 1+ a_n \right)^{\frac{1}{a_n}} = e.\]

Exercițiu rezolvat
Să se calculeze următoarea limită

    \[\lim\limits_{n\to\infty} \left(\frac{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}{2\sqrt{n+2}}\right)^n\]

Rezolvare.

Cum șirul \left(\frac{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}{2\sqrt{n+2}}\right)_{n \ge 1} este convergent către 1, atunci se observă că inițial avem nedeterminarea 1^\infty.

Pentru început determinăm termenul general al șirului \left( a_n \right)_{n\ge 1}, cu \lim\limits_{n\to \infty} a_n = 0. Avem

    \begin{align*} l=\lim\limits_{n\to\infty} \left(\frac{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}{2\sqrt{n+2}}\right)^n & = \lim\limits_{n\to\infty} \left(1 + \frac{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}{2\sqrt{n+2}} - 1\right)^n \\ & = \lim\limits_{n\to\infty} \left(1+\frac{\sqrt{n}-2\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}{2\sqrt{n+2}}\right)^n \end{align*}

Deci a_n = \frac{\sqrt{n}-2\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}{2\sqrt{n+2}} oricare ar fi n \ge 1.

Aplicăm rezultatul de mai sus și se obține

    \begin{align*} l & = \lim\limits_{n\to\infty} \left(1+\frac{\sqrt{n}-2\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}{2\sqrt{n+2}}\right)^{\frac{2\sqrt{n+2}}{\sqrt{n}-2\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}} \cdot \frac{\sqrt{n}-2\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}{2\sqrt{n+2}}\cdot n} \\ & = \lim\limits_{n\to\infty} e^{\frac{\sqrt{n}-2\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}{2\sqrt{n+2}}\cdot n} \end{align*}

În continuare, calculăm limita de la exponent

    \begin{align*} L= \lim\limits_{n\to\infty} \left(\frac{\sqrt{n}-2\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}{2\sqrt{n+2}}\cdot n\right) & = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{n}-2\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}}\cdot n, \end{align*}

unde avem cazul de nedeterminare 0 \cdot \infty.
Efectuăm următorii pași:
1. raționalizăm termenul din mijloc

    \begin{align*} L & = \lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{2} \cdot \left( \sqrt{n\left(n+2\right)}-2\left(n+2\right)+\sqrt{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\right) \cdot \frac{n}{n+2} \\ & = \frac{1}{2} \cdot \lim\limits_{n\to\infty} \left( \sqrt{n\left(n+2\right)}-2\left(n+2\right)+\sqrt{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\right) \end{align*}

2. descompunem suma în doi termeni

    \[ L = \frac{1}{2} \cdot \left[ \lim\limits_{n\to\infty} \left(\sqrt{n\left(n+2\right)} - \left(n+2\right)\right)+ \lim\limits_{n\to\infty} \left(\sqrt{\left(n+1\right)\left(n+2\right)} -\left(n+2\right)\right)\right] \]

3. raționalizăm fiecare termen și finalizăm calculele

    \begin{align*} L& = \frac{1}{2} \cdot \left[ \lim\limits_{n\to\infty} \frac{n\left(n+2\right) - \left(n+2\right)^2}{\sqrt{n\left(n+2\right)} + \left(n+2\right)} + \lim\limits_{n\to\infty} \frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right) - \left(n+2\right)^2}{\sqrt{\left(n+1\right)\left(n+2\right)} + \left(n+2\right)}\right]\\ & =\frac{1}{2} \cdot \left[ \lim\limits_{n\to\infty} \frac{-2n-4}{\sqrt{n\left(n+2\right)} + \left(n+2\right)} + \lim\limits_{n\to\infty} \frac{-n-2}{\sqrt{\left(n+1\right)\left(n+2\right)} + \left(n+2\right)} \right] \\ & = \frac{1}{2} \cdot \left(-1 - \frac{1}{2}\right) \\ & = - \frac{3}{4} \end{align*}

Atunci

    \[ l = \lim\limits_{n\to\infty} \left(\frac{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}{2\sqrt{n+2}}\right)^n = e^L = e^{-\frac{3}{4}}\]