Home » Șiruri definite prin relații de recurență

Șiruri definite prin relații de recurență

Exerciții & probleme

T1P1. Fie șirul $\left(x_n\right)_{n\ge 1}$ definit prin relația de recurență

$x_{n+1}= \frac{1}{n}\cdot x_n , \, n\ge 1$

cu $x_1 = 1$ .

Să se determine primii cinci termeni ai șirului $\left(x_n\right)_{n\ge 1}$ .
Să se determine termenul general al șirului $\left(x_n\right)_{n\ge 1}$ .

T1P2. Fie șirul $\left(x_n\right)_{n\ge 1}$ definit prin relația de recurență

$x_{n+1}= x_n + \frac{1}{n\left(n+1\right)}, \, n\ge 1$

cu $x_1 = 1$ .

Să se determine primii cinci termeni ai șirului $\left(x_n\right)_{n\ge 1}$ .
Să se determine termenul general al șirului $\left(x_n\right)_{n\ge 1}$ .

T1P3. Fie șirul $\left(x_n\right)_{n\ge 1}$ definit prin relația de recurență

$x_{n+1}= \frac{1}{2}\cdot x_n + 3, \, n\ge 1$

cu $x_1 = 11$ .

Să se determine primii cinci termeni ai șirului $\left(x_n\right)_{n\ge 1}$ .
Să se determine termenul general al șirului $\left(x_n\right)_{n\ge 1}$ .
Se notează , .
1. Să se determine constanta reală $h$ pentru care șirul $\left(y_n\right)_{n\ge 1}$ satisface o relație de recurență omogenă, adică există $A \in \mathbb{R}$ astfel încât
  $y_{n+1}=A\cdot y_n, \, n\ge 1$
2. Să se determine termenul general al șirului $\left(y_n\right)_{n\ge 1}$ .
3. Să se determine termenul general al șirului $\left(x_n\right)_{n\ge 1}$ .

T1P4. Fie șirul $\left(x_n\right)_{n\ge 1}$ definit prin relația de recurență

$x_{n+2}= 5x_{n+1} -6x_n, \, n\ge 1$

cu $x_1 = 5$ și $x_2 = 13$ .

Să se determine primii cinci termeni ai șirului $\left(x_n\right)_{n\ge 1}$ .
Să se determine termenul general al șirului $\left(x_n\right)_{n\ge 1}$ .

T1P5. Fie șirul $\left(x_n\right)_{n\ge 1}$ definit prin relația de recurență

$6x_{n+2}= 5x_{n+1} -x_n, \, n\ge 1$

cu $x_1 = \frac{5}{6}$ și $x_2 = \frac{13}{36}$ .

Să se determine primii cinci termeni ai șirului $\left(x_n\right)_{n\ge 1}$ .
Să se determine termenul general al șirului $\left(x_n\right)_{n\ge 1}$ .

T1P6. Se consideră șirurile de numere reale $\left(x_n\right)_{n\ge 1}$ și $\left(y_n\right)_{n\ge 1}$ definite prin relațiile de recurență

$e\cdot x_n^2 = x_{n-1}, \, n\ge 2$

$2y_n = \ln x_n + 1, \, n\ge 1,$

unde $x_1 = e^2$ .

Să se determine primii trei termeni ai șirului $\left(x_n\right)_{n\ge 1}$ .
Să se determine termenul general al șirului $\left(y_n\right)_{n\ge 1}$ .
Să se determine termenul general al șirului $\left(x_n\right)_{n\ge 1}$ .

Observația 1. Exercițiile propuse sunt preluate/prelucrate din

Andrei Vernescu, Analiză matematică, Vol. 1, Pantheon, București, 2010; ISBN 973-95644-1-0
Andrei Horvat-Marc, Analiză matematică prin exerciții și probleme, Risoprint, Cluj-Napoca, 2009; ISBN 978-973-53-0213-9