AM1-Curs-04

Criterii de convergenţă pentru şiruri de numere reale

Spunem că șirul de numere reale $(x_n)$ este convergent în $\mathbb{R}$ dacă are limita finită $L \in \mathbb{R}$ .

Teoremă (Criteriul lui Weierstrass)

Orice șir monoton și mărginit în $\mathbb{R}$ este convergent.

Definiție. Spunem că șirul de numere reale $(x_n)$ este un șir fundamental sau șir Cauchy, dacă pentru orice $\varepsilon > 0$ există $N_\varepsilon\in\mathbb{N}$ astfel încât

$|x_m-x_n|<\varepsilon,\quad\forall\;m\geq N_\varepsilon,\quad\forall\;n\geq N_\varepsilon\,$

sau echivalent

$|x_{n+p}-x_n|<\varepsilon\,,\quad\forall\;n\geq N_\varepsilon\,, \quad\forall\;p\in\mathbb{N}.$

Despre șiruri Cauchy link1, link2

Teoremă

Un șir de numere reale este convergent în $\mathbb{R}$ dacă și numai dacă este un șir fundamental.

Exemplu

Teorema cleştelui

Fie șirurile $(x_n)_{n\ge 1}$ , $(y_n)_{n\ge 1}$ , $(z_n)_{n\ge 1}$ pentru care există $N \in \mathbb{N}^\ast$ astfel încât

$x_n\leq y_n\leq z_n, \quad\forall \; n\geq N$

Dacă $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}z_n= L\in \mathbb{R}$ , atunci

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}y_n=L.$

Exemplu

Criteriul lui Stolz-Cesaro

Fie $(x_n)$ și $(y_n)$ două șiruri de numere reale astfel încât șirul $(y_n)$ este strict crescător cu $\lim\limits_{n \to \infty} y_n = \infty$ și există limita