AM1-Curs-04

Criterii de convergenţă pentru şiruri de numere reale

Spunem că șirul de numere reale (x_n) este convergent în \mathbb{R} dacă are limita finită L \in \mathbb{R}.

Teoremă (Criteriul lui Weierstrass)


Orice șir monoton și mărginit în \mathbb{R} este convergent.

Definiție. Spunem că șirul de numere reale (x_n) este un șir fundamental sau șir Cauchy, dacă pentru orice \varepsilon > 0 există N_\varepsilon\in\mathbb{N} astfel încât

    \[|x_m-x_n|<\varepsilon,\quad\forall\;m\geq N_\varepsilon,\quad\forall\;n\geq N_\varepsilon\,\]

sau echivalent

    \[|x_{n+p}-x_n|<\varepsilon\,,\quad\forall\;n\geq N_\varepsilon\,, \quad\forall\;p\in\mathbb{N}.\]

Despre șiruri Cauchy  link1, link2

Teoremă


Un șir de numere reale este convergent în \mathbb{R} dacă și numai dacă este un șir fundamental.

Exemplu

Teorema cleştelui


Fie șirurile (x_n)_{n\ge 1}, (y_n)_{n\ge 1}, (z_n)_{n\ge 1}  pentru care există N \in \mathbb{N}^\ast astfel încât

    \[ x_n\leq y_n\leq z_n, \quad\forall \; n\geq N\]

Dacă \lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}z_n= L\in \mathbb{R}, atunci

    \[\lim\limits_{n\rightarrow\infty}y_n=L.\]

Exemplu

Criteriul lui Stolz-Cesaro 


Fie (x_n) și (y_n) două șiruri de numere reale astfel încât șirul (y_n) este strict crescător cu \lim\limits_{n \to \infty} y_n = \infty și există limita

    \[\lim\limits_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n} = L.\]

Atunci există limita șirului \left(\dfrac{x_n}{y_n}\right)_{n \ge 1} și

    \[\lim\limits_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = L.\]

Demonstrația se găsește aici. Alte surse.