Suma unei serii

Să se calculeze suma seriei

    \[ \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{4n^2+8n+3}\]

Termenul seriei este

    \[u_n = \frac{1}{4n^2+8n+3}, n\ge 1.\]

Pentru a calcula termenul general al șirului sumelor parțiale este necesar să scriem termenul seriei într-o formă echivalentă. Avem

    \[u_n = \frac{1}{\left(2n+1\right)\left(2n+3\right)} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3}\right), n\ge 1.\]

Atunci, termenul general al șirului sumelor parțiale este

(1)   \begin{align*} s_n = \sum\limits_{k=1}^n u_k & = \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3}\right) \\ & = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right. \\ & + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \\ & \vdots \\ & \left. + \frac{1}{2n - 3} - \frac{1}{2n+1}\right) \\ & \left. + \frac{1}{2n + 1} - \frac{1}{2n+3}\right) \\ & = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2n+3} \right) \end{align*}

oricare ar fi n \ge 1.
În final, suma seriei este

    \[S = \lim_{n\to \infty} s_n = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2n+3} \right) = \frac{1}{6}.\]