Exerciții de la evaluări precedente

Ex1-2014

a) Se consideră șirul de numere reale \left(a_n\right)_{n\ge 1} cu termenul general dat de

    \[ a_n = \dfrac{1}{1\cdot 3} + \dfrac{7}{1\cdot 3 \cdot 5} + \ldots +\dfrac{2n^2-1}{1\cdot 3 \cdot \ldots \cdot \left(2n+1\right)}\]

oricare ar fi n\ge 1. Să se determine primii trei termeni ai șirului \left(a_n\right)_{n\ge 1}. Hint

b) Să se calculeze

    \[\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{1\cdot 3 + 3 \cdot 5 + \ldots + \left(2n-1\right)\left(2n+1\right)}{2\cdot 5 + 5 \cdot 8 + \ldots + \left(3n-1\right)\left(3n+2\right)} .\]

Ex2-2014

a) Să se calculeze suma seriei

    \[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{25n^2-5n-6}.\]

b) Să se determine natura seriei

    \[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{n!\cdot 2^n}{n^{n+2}}.\]

Ex3-2014

a) Să se determine derivata de ordin 4 a funcției f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definită prin

    \[f(x) = x^5\cdot e^x .\]

b) Să se determine punctele de extrem și valorile extreme pentru funcția f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin

    \[f\left(x\right) = x^2+2 \cos x.\]

Ex4-2014

Să se studieze continuitatea funcției f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definită prin

    \[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{\ln\left(1+ax\right)}{bx}, \text{ dacă } x>0 \\ \dfrac{x^4+a}{x^2+b}, \text{ dacă } x\le 0 \end{cases} \]

.

Ex5-2014

Să se determine punctele de extrem și valorile extreme pentru funcția f: \left[0,6\right] \to \mathbb{R} definită prin

    \[f\left(x\right) = 1+\sqrt{6x-x^2}.\]

Ex6-2014

Să se determine natura punctului A\left(0,0\right) relativ la graficul funcției f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin f\left(x\right) = x^5\left(x^2+1\right). (Hint)