AM2-Curs-01

Șiruri de puncte din \mathbb{R}^n

Definiție
Se numește șir de puncte din \mathbb{R}^n orice funcție f:\mathbb{N} \to \mathbb{R}^n.

Un șir de puncte din \mathbb{R}^n se va nota prescurtat \left(x^{(k)}\right)_{k\in \mathbb{N}}, unde
x^{(k)} = \left( x_1^{(k)}, x_2^{(k)}, \ldots , x_n^{(k)} \right) cu k\in \mathbb{N}.
Definiție
Punctul a = \left(a_1, \ldots, a_n\right) \in \mathbb{R}^n este limita șirului \left(x^{(k)}\right)_{k\in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}^n dacă în afara oricărei vecinătăți a punctului a se găsesc cel mult un număr finit de termeni ai șirului. În acest caz se utilizează notația

(1)   \begin{equation*} \lim_{k\to \infty} x^{(k)}=a. \end{equation*}

Teorema Fie \left(x^{(k)}\right)_{k\in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}^n un șir de puncte din \mathbb{R}^n și a\in \mathbb{R}^n. Atunci

    \[\lim_{k\to \infty} =a \Longleftrightarrow \forall \varepsilon >0, \exists N(\varepsilon) \in \mathbb{N} \text{ astfel \^{i}nc\^{a}t }\]

    \[\forall n \ge N(\varepsilon) \text{ are loc } \left\| x^{(k)} - a\right\| < \varepsilon. \]

Un șir din \mathbb{R}^n este convergent dacă are limită finită.

Teorema Limita unui șir convergent din \mathbb{R}^n este unic determinată.

Teorema  Fie \left(x^{(k)}\right)_{k\in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}^n, \left(a^{(k)}\right)_{k\in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}^n și b\in \mathbb{R}^n. Dacă

  1.  \lim\limits_{k\to \infty} a^{(k)} = 0,
  2.  există k_0\in \mathbb{N} astfel ca \left\|x^{(k)} - b\right\| \le a^{(k)}, \forall k \ge k_0, k\in \N,

atunci

    \[\lim_{k\to \infty} x^{(k)}=b.\]

Teorema  Fie \left(x^{(k)}\right)_{k\in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}^n, și a\in \mathbb{R}^n. Dacă \lim\limits_{k\to \infty} x^{(k)} = a, atunci

(2)   \begin{equation*} \lim_{k\to \infty} \left\| x^{(k)} \right\| = \|a\|. \end{equation*}

Teorema  Dacă șirul \left(x^{(k)}\right)_{k\in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}^n este convergent, atunci \left(x^{(k)}\right)_{k\in \mathbb{N}} este și mărginit, adică există M > 0 astfel încât

(3)   \begin{equation*} \left\| x^{(k)}\right\| \le M, \enskip \forall k\in \mathbb{N}. \end{equation*}

Definiție
Șirul \left(x^{(k)}\right)_{k\in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}^n se numește șir fundamental sau șir Cauchy, dacă

(4)   \begin{equation*} \forall \varepsilon >0, \exists N_\varepsilon \in \mathbb{N} \text{ astfel \^{i}nc\^{a}t } \forall k\ge N_\varepsilon, \forall p\in \mathbb{N}^\ast \text{ s\u{a} avem } \end{equation*}

(5)   \begin{equation*}\left\| x^{(k+p)} - x^{(k)}\right\| < \varepsilon.\end{equation*}

Teorema
Șirul \left(x^{(k)}\right)_{k\in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}^n este convergent dacă și numai dacă este fundamental.
Teorema
Fie \left(x^{(k)}\right)_{k\in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}^n, cu x^{(k)} = \left( x_1^{(k)}, x_2^{(k)}, \ldots, x_n^{(k)}\right) și a = \left(a_1,a_2, \ldots, a_n\right). Atunci

(6)   \begin{equation*} \lim_{k\to \infty} x^{(k)} = a \Longleftrightarrow \begin{cases} \lim\limits_{k\to \infty} x_1^{(k)} = a_1 \\ \lim\limits_{k\to \infty} x_2^{(k)} = a_2 \\ \hspace*{5mm}\vdots\\ \lim\limits_{k\to \infty} x_n^{(k)} = a_n. \end{cases} \end{equation*}