AM2-Curs-02

Funcţii de variabilă vectorială cu valori vectoriale

Fie $m,n \in \mathbb{N}$ două numere naturale nenule. Funcţia $f:D\subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ se numeşte funcţie vectorială sau funcţie de variabilă vectorială cu valori vectoriale, unde

$f\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) = \left( f_1\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right), f_2\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right), \ldots, f_m\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) \right)$

Dacă $n=m=1$ , atunci avem o funcţie reală

$f : D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \enskip f\left(x) \in\mathbb{R}.$

Dacă $n\ge 2$ şi $m=1$ , atunci avem o funcţie vectorială cu valori reale

$f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \enskip f\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) \in\mathbb{R}.$

Dacă $n=1$ şi $m\ge 2$ , atunci avem o funcţie reală cu valori vectoriale

$f : D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}^m, \enskip f\left(x) = \left( f_1\left(x\right),f_2\left(x\right), \ldots, f_m\left(x\right)\right)\in\mathbb{R}^m.$

Limita unei funcții într-un punct

Fie $x^0 = \left(x^0_1, x^0_2, \ldots, x^0_n\right)\in \mathbb{R}^n$ un punct de acumulare al mulțimii $D_f$ . Punctul $l = \left(l_1,l_2,\ldots,l_m\right)\in \mathbb{R}^m$ este limita funcției $f$ în punctul $x^0$ dacă și numai dacă pentru orice vecinătate $V\subset \mathbb{R}^m$ a punctului $l$ există o vecinătate $U\subset\mathbb{R}^n$ a punctului $x^0$ astfel încât oricare ar fi $x\in U\cap D_f$ , $x\ne x^0$ avem $f(x) \in V$ .

Se utilizează notația

$l=\lim_{x\to x^0} f(x).$

Limite parţiale

Fie $f:D\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$ . Presupunem că $D=D_1\times D_2$ , unde $D_1\subset\mathbb{R}^p$ , $D_2\subset\mathbb{R}^q$ , cu $p+q=m$ .

Fie $x_0=(u_0, v_0)\in D^\prime$ , cu $u_0\in D^\prime_1$ şi $v_0\in D^\prime_2$ şi

$x=(x_1, x_2,\dots,x_p, x_{p+1},\dots, x_m)=(u,v), \text{ cu } u=(x_1, x_2,\dots,x_p),\quad v=(x_{p+1}, x_{p+2},\dots,x_m).$

Facem notaţia $f(x)=f(u,v),\;\forall u\in D_1,\;\forall v\in D_2$ .

Dacă pentru $v\in D_2$ fixat există limita

$l_1(v):=\lim\limits_{u\to u_0} f(u,v)=\varphi(v),\quad \varphi:D_2\to \mathbb{R}^m\,,$

atunci $l_1(v)$ se numeşte limita parţială a funcţiei $f$ în raport cu $u$ în punctul $u_0$ .

Dacă pentru $u\in D_1$ , fixat, există limita

$l_2(u):=\lim\limits_{v\to v_0}f(u,v)=\psi(u),\quad \varphi:D_1\to \mathbb{R}^m\,,$

atunci $l_2(u)$ se numeşte limita parţială a funcţiei $f$ în raport cu $v$ în punctul $v_0$ .

Dacă există limitele parţiale

$l_{12}=\lim\limits_{v\to v_0} l_1(v)=\lim\limits_{v\to v_0} \left(\lim\limits_{u\to u_0} f(u,v)\right)\,,$

$l_{21}=\lim\limits_{u\to u_0} l_2(u)=\lim\limits_{u\to u_0} \left(\lim\limits_{v\to v_0} f(u,v)\right)\,,$

atunci ele se numesc limitele iterate ale funcţiei $f$ în punctul $x_0=(u_0, v_0)$ . Dacă mai există şi limita funcţiei $f$ în punctul $x_0\in D^\prime$ , adică

$l=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\lim\limits_{u\to u_0\atop v\to v_0} f(u,v),$

atunci această limită se numeşte limita globală a funcţiei $f$ în punctul $x_0$ .

Funcție continuă

Definiție. Fie $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ o aplicație. Spunem că $f$ este continuă în punctul $a \in \mathbb{R}^n$ , dacă

$\forall\;V\in\mathcal{V}\left(f(a)\right),\;\exists\; U\in\mathcal{V}(a), \text{ astfel \^ inc\^ at } f(U) \subset V.$

Are loc următorul rezultat de caracterizare a continuității într-un punct.

Teoremă. Fie $f:D\subset\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ o aplicație și $a\in D$ , atunci următoarele afirmații sunt echivalente:

$f$ este continuă în punctul $a$ ,
oricare ar fi $\varepsilon>0$ există $\delta_\varepsilon>0$ ,
$\forall x\in D, \left\| x - a \right\| < \delta_\varepsilon, \Rightarrow \left\| f\left(x\right) - f\left(a\right) \right\| <\varepsilon.$
oricum am alege un șir $(x^k)_{k\ge 1} \subset D$ cu $\lim\limits_{k \to \infty } x^k = a$ avem
$\lim\limits_{k \to \infty} f\left(x^k\right) = f\left(a\right) .$

Are loc următorul rezultat de caracterizare a continuității globale.

Teoremă. Fie $f:D\subset\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ o aplicație, atunci următoarele afirmații sunt echivalente:

funcția $f$ este continuă pe mulțimea $D$ ,
pentru orice submulțime $G\subset \mathbb{R}^m$ deschisă, mulțimea $f^{-1}(G)\subset \mathbb{R}^n$ este deschisă,
pentru orice submulțime $F\subset \mathbb{R}^m$ închisă, mulțimea $f^{-1}(F)\subset \mathbb{R}^n$ este închisă.