AM2-Curs-02

Funcţii de variabilă vectorială cu valori vectoriale

Fie m,n  \in \mathbb{N} două numere naturale nenule. Funcţia f:D\subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m se numeşte funcţie vectorială sau funcţie de variabilă vectorială cu valori vectoriale, unde

    \[f\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) = \left( f_1\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right), f_2\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right), \ldots, f_m\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)  \right)\]

Dacă n=m=1, atunci avem o funcţie reală

    \[f : D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \enskip f\left(x) \in\mathbb{R}.\]

Dacă n\ge 2 şi m=1, atunci avem o funcţie vectorială cu valori reale

    \[f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, \enskip f\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)  \in\mathbb{R}.\]

Dacă n=1 şi m\ge 2, atunci avem o funcţie reală cu valori vectoriale

    \[f : D \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}^m, \enskip f\left(x)  = \left( f_1\left(x\right),f_2\left(x\right), \ldots, f_m\left(x\right)\right)\in\mathbb{R}^m.\]

Limita unei funcții într-un punct

Fie x^0 = \left(x^0_1, x^0_2, \ldots, x^0_n\right)\in \mathbb{R}^n un punct de acumulare al mulțimii D_f. Punctul l = \left(l_1,l_2,\ldots,l_m\right)\in \mathbb{R}^m este limita funcției f în punctul x^0 dacă și numai dacă pentru orice vecinătate V\subset \mathbb{R}^m a punctului l există o vecinătate U\subset\mathbb{R}^n a punctului x^0 astfel încât oricare ar fi x\in U\cap D_f, x\ne x^0 avem f(x) \in V.

Se utilizează notația

    \[l=\lim_{x\to x^0} f(x).\]

Limite parţiale

Fie f:D\subset\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m. Presupunem că D=D_1\times D_2, unde D_1\subset\mathbb{R}^p, D_2\subset\mathbb{R}^q, cu p+q=m.

Fie x_0=(u_0, v_0)\in D^\prime, cu u_0\in D^\prime_1 şi v_0\in D^\prime_2 şi

    \[x=(x_1, x_2,\dots,x_p, x_{p+1},\dots, x_m)=(u,v),  \text{ cu }  u=(x_1, x_2,\dots,x_p),\quad v=(x_{p+1}, x_{p+2},\dots,x_m).\]

Facem notaţia f(x)=f(u,v),\;\forall u\in D_1,\;\forall v\in D_2.

Dacă pentru v\in D_2 fixat există limita

    \[l_1(v):=\lim\limits_{u\to u_0} f(u,v)=\varphi(v),\quad \varphi:D_2\to \mathbb{R}^m\,,\]

atunci l_1(v) se numeşte limita parţială a funcţiei f în raport cu u în punctul u_0.

Dacă pentru u\in D_1, fixat, există limita

    \[l_2(u):=\lim\limits_{v\to v_0}f(u,v)=\psi(u),\quad \varphi:D_1\to \mathbb{R}^m\,,\]

atunci l_2(u) se numeşte limita parţială a funcţiei f în raport cu v în punctul v_0.

Dacă există limitele parţiale 

    \[l_{12}=\lim\limits_{v\to v_0} l_1(v)=\lim\limits_{v\to v_0} \left(\lim\limits_{u\to u_0} f(u,v)\right)\,,\]

    \[l_{21}=\lim\limits_{u\to u_0} l_2(u)=\lim\limits_{u\to u_0} \left(\lim\limits_{v\to v_0} f(u,v)\right)\,,\]

atunci ele se numesc limitele iterate ale funcţiei f în punctul x_0=(u_0, v_0). Dacă mai există şi limita funcţiei f în punctul x_0\in D^\prime, adică 

    \[l=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\lim\limits_{u\to u_0\atop v\to v_0} f(u,v),\]

 atunci această limită se numeşte limita globală a funcţiei f în punctul x_0.

Funcție continuă

 

Definiție. Fie f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m o aplicație. Spunem că f este continuă în punctul a \in \mathbb{R}^n, dacă

    \[\forall\;V\in\mathcal{V}\left(f(a)\right),\;\exists\; U\in\mathcal{V}(a), \text{ astfel \^ inc\^ at } f(U) \subset V.\]

Are loc următorul rezultat de caracterizare a continuității într-un punct.

Teoremă. Fie f:D\subset\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m o aplicație și a\in D, atunci următoarele afirmații sunt echivalente:

  1. f este continuă în punctul a,
  2. oricare ar fi \varepsilon>0 există \delta_\varepsilon>0,

        \[ \forall x\in D, \left\| x - a \right\| < \delta_\varepsilon, \Rightarrow \left\| f\left(x\right) - f\left(a\right) \right\| <\varepsilon. \]

  3. oricum am alege un șir (x^k)_{k\ge 1} \subset D cu \lim\limits_{k \to \infty } x^k = a avem

        \[\lim\limits_{k \to \infty} f\left(x^k\right) = f\left(a\right) .\]

Are loc următorul rezultat de caracterizare a continuității globale.

Teoremă. Fie f:D\subset\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m o aplicație, atunci următoarele afirmații sunt echivalente:

  1. funcția f este continuă pe mulțimea D,
  2. pentru orice submulțime G\subset \mathbb{R}^m deschisă, mulțimea f^{-1}(G)\subset \mathbb{R}^n este deschisă,
  3. pentru orice submulțime F\subset \mathbb{R}^m închisă, mulțimea f^{-1}(F)\subset \mathbb{R}^n este închisă.

Reamintesc că mulțimea

    \[ f^{-1}\left(M\right) = \left\{ x\in D | f(x) \in M \right\}\]

este imaginea inversă a mulțimii M prin funcția f.