AM2-Curs-02
Funcţii de variabilă vectorială cu valori vectoriale
Fie două numere naturale nenule. Funcţia
se numeşte funcţie vectorială sau funcţie de variabilă vectorială cu valori vectoriale, unde
Dacă , atunci avem o funcţie reală
Dacă şi
, atunci avem o funcţie vectorială cu valori reale
Dacă şi
, atunci avem o funcţie reală cu valori vectoriale
Limita unei funcții într-un punct
Fie un punct de acumulare al mulțimii
. Punctul
este limita funcției
în punctul
dacă și numai dacă pentru orice vecinătate
a punctului
există o vecinătate
a punctului
astfel încât oricare ar fi
,
avem
.
Se utilizează notația
Limite parţiale
Fie . Presupunem că
, unde
,
, cu
.
Fie , cu
şi
şi
Facem notaţia .
Dacă pentru fixat există limita
atunci se numeşte limita parţială a funcţiei
în raport cu
în punctul
.
Dacă pentru , fixat, există limita
atunci se numeşte limita parţială a funcţiei
în raport cu
în punctul
.
Dacă există limitele parţiale
atunci ele se numesc limitele iterate ale funcţiei în punctul
. Dacă mai există şi limita funcţiei
în punctul
, adică
atunci această limită se numeşte limita globală a funcţiei în punctul
.
Funcție continuă
Definiție. Fie o aplicație. Spunem că
este continuă în punctul
, dacă
Are loc următorul rezultat de caracterizare a continuității într-un punct.
Teoremă. Fie o aplicație și
, atunci următoarele afirmații sunt echivalente:
este continuă în punctul
,
- oricare ar fi
există
,
- oricum am alege un șir
cu
avem
Are loc următorul rezultat de caracterizare a continuității globale.
Teoremă. Fie o aplicație, atunci următoarele afirmații sunt echivalente:
- funcția
este continuă pe mulțimea
,
- pentru orice submulțime
deschisă, mulțimea
este deschisă,
- pentru orice submulțime
închisă, mulțimea
este închisă.
Reamintesc că mulțimea
este imaginea inversă a mulțimii prin funcția
.
Comentarii recente