AM2-Curs-02
Funcţii de variabilă vectorială cu valori vectoriale
Fie două numere naturale nenule. Funcţia se numeşte funcţie vectorială sau funcţie de variabilă vectorială cu valori vectoriale, unde
Dacă , atunci avem o funcţie reală
Dacă şi , atunci avem o funcţie vectorială cu valori reale
Dacă şi , atunci avem o funcţie reală cu valori vectoriale
Limita unei funcții într-un punct
Fie un punct de acumulare al mulțimii . Punctul este limita funcției în punctul dacă și numai dacă pentru orice vecinătate a punctului există o vecinătate a punctului astfel încât oricare ar fi , avem .
Se utilizează notația
Limite parţiale
Fie . Presupunem că , unde , , cu .
Fie , cu şi şi
Facem notaţia .
Dacă pentru fixat există limita
atunci se numeşte limita parţială a funcţiei în raport cu în punctul .
Dacă pentru , fixat, există limita
atunci se numeşte limita parţială a funcţiei în raport cu în punctul .
Dacă există limitele parţiale
atunci ele se numesc limitele iterate ale funcţiei în punctul . Dacă mai există şi limita funcţiei în punctul , adică
atunci această limită se numeşte limita globală a funcţiei în punctul .
Funcție continuă
Definiție. Fie o aplicație. Spunem că este continuă în punctul , dacă
Are loc următorul rezultat de caracterizare a continuității într-un punct.
Teoremă. Fie o aplicație și , atunci următoarele afirmații sunt echivalente:
- este continuă în punctul ,
- oricare ar fi există ,
- oricum am alege un șir cu avem
Are loc următorul rezultat de caracterizare a continuității globale.
Teoremă. Fie o aplicație, atunci următoarele afirmații sunt echivalente:
- funcția este continuă pe mulțimea ,
- pentru orice submulțime deschisă, mulțimea este deschisă,
- pentru orice submulțime închisă, mulțimea este închisă.
Reamintesc că mulțimea
este imaginea inversă a mulțimii prin funcția .
Comentarii recente