AM2-Curs-03

Derivate parțiale

Noțiunea de derivată parțială a unei funcții vectoriale de două variabile reale cu valori reale

Fie f:D \to \mathbb{R}, cu D\subset\mathbb{R}^2 o mulțime deschisă și (x_0,y_0) \in D \cap D'.
Spunem că funcția f este derivabilă parțial în raport cu variabila x în punctul (x_0,y_0),
dacă există și este finită limita

    \[ f^\prime_x(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_0,y_0\right) = \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0} \]

și este derivabilă parțial în raport cu variabila y în punctul (x_0,y_0), dacă există și este finită limita

    \[ f^\prime_y(x_0,y_0) = \frac{\partial f}{\partial y}\left(x_0,y_0\right) = \lim\limits_{y\to y_0} \frac{f\left(x_0,y\right)-f\left(x_0,y_0\right)}{y-y_0}. \]

Numărul real

    \[f_x^\prime(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial x} \left(x_0,y_0\right)\]

se numește derivata parțială a funcției f în raport cu x în punctul (x_0,y_0), iar numărul real

    \[f^\prime_y(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_0,y_0\right)\]

se numește derivata parțială a funcției f în raport cu y în punctul (x_0,y_0).

Noțiunea de derivată parțială a unei funcții vectoriale cu valori reale

Fie f:D \to \mathbb{R}, cu D\subset\mathbb{R}^n o mulțime deschisă și a=\left(a_1,a_2, \ldots , a_n \right) \in D \cap D'.
Spunem că funcția f este derivabilă parțial în raport cu variabila x_i în punctul a,
dacă există și este finită limita

    \[ \frac{\partial f}{\partial x_i} \left(a\right) = \lim\limits_{x\to x_i}\frac{f\left(a_1,a_2, \ldots, a_{i-1}, x_i, a_{i+1}, \ldots, a_n\right)-f\left(a_1,a_2, \ldots, a_n\right)}{x-x_i}, \]

unde i\in \left\{1,2, \ldots, n\right\}.

Numărul real

    \[\frac{\partial f}{\partial x_i} \left(a\right)\]

se numește derivata parțială a funcției f în raport cu variabila x_i în punctul a, i=\overline{1,n}.

Spunem că funcția f:D\subset\mathbb{R}^n \to \mathbb{R} este derivabilă parțial în punctul a\in D\cap D' dacă funcția f este derivabilă parțial în raport cu fiecare variabilă x_i, i=\overline{1,n}.

Spunem că funcția f:D\subset\mathbb{R}^n \to \mathbb{R} este derivabilă parțial pe mulțimea D dacă f este derivabilă parțial în fiecare punct a \in D.