AM2-Tema-3

Aici veți găsi o listă cu exerciții care necesită cunoștințe referitoare la noțiunea de derivată parțială a unei funcții de două sau trei variabile reale cu valori reale.

Exercițiul 1. Determinați derivatele parțiale ale următoarelor funcții:

  1. f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}, f(x,y)=4x^2-2x^2 y+5y^2-2x+xy+1;
  2. f:\mathbb{R}^2\setminus\left\{(x,y) |xy=0\right\}\to\mathbb{R}, f(x,y)=x^2 y+\cfrac{x}{y}+\cfrac{y^2}{x};
  3. f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, f(x,y)=x^2+xy+e^{-x^2 y};
  4. f:\left\{\left( x,y \right)\in \mathbb{R}^2, xy>0\right\} \to \mathbb{R}, f\left( x,y \right) = \dfrac{1}{\sqrt{xy}} + \ln \dfrac{y}{x};
  5. f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, f\left( x,y \right) = \ln\left( x^2+y^2 +1 \right).

Exercițiul 2. Fie funcția f:\mathbb{R}^2\setminus\left\{\left( 0,0 \right) \right\} \to \mathbb{R} definită prin

    \[f\left( x,y \right) = \ln \left( x^2 + xy +y^2 \right).\]

Arătați că

    \[x\frac{\partial f}{\partial x}\left( x,y \right) + y \frac{\partial f}{\partial y}\left( x,y \right) = 2\]

oricare ar fi \left( x,y \right) \in \mathbb{R}^2\setminus\left\{\left( 0,0 \right) \right\}.

Exercițiul 3. Arătați că derivatele parțiale ale funcției F: D \to \mathbb{R}, F \left(x,y,z\right) = \ln \left(x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz\right), unde D=\left\{ \left(x,y,z\right) \in \mathbb{R} | \, x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz > 0\right\}, satisfac relația

    \[\frac{\partial F}{\partial x} \left(x,y,z\right) + \frac{\partial F}{\partial y} \left(x,y,z\right) + \frac{\partial F}{\partial z} \left(x,y,z\right) = \frac{3}{x+y+z}.\]

Exercițiul 4. Fie funcția f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} definită prin

    \[f\left(x,y\right) = \begin{cases} xy\cdot \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}, \text{ dac\u a } \left(x,y\right)\ne \left(0,0\right) \\ 0 \text{ dac\u a } \left(x,y\right)\ne \left(0,0\right). \end{cases}\]

Determinați \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\left(0,0\right) și \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\left(0,0\right).