Ex-AM2-Curs-04

Exercițiu. Studiați diferențiabilitatea în punctul $\left(0,0\right)$ a funcției $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ definită prin

$f\left(x,y\right) = \begin{cases} \left(x^2 + y^2\right) \sin \dfrac{1}{x^2 + y^2}, \enskip \left(x,y\right) \ne \left(0,0\right) \\ 0, \enskip \left(x,y\right) = \left(0,0\right)\end{cases}.$

Soluție
Pentru început verificăm dacă funcția $f$ este derivabilă parțial în punctul $\left(0,0\right)$ .

Avem

$\diffp{f}{x}\left(0,0\right) = \lim\limits_{x\to 0} \frac{f\left(x,0\right) - f\left(0,0\right)}{x} = \lim\limits_{x\to 0} \frac{x^2\sin\frac{1}{x^2}}{x} = 0,$

$\diffp{f}{y}\left(0,0\right) = \lim\limits_{y\to 0} \frac{f\left(0,y\right) - f\left(0,0\right)}{y} = \lim\limits_{y\to 0} \frac{y^2\sin\frac{1}{y^2}}{x} = 0.$

Deci $f$ este derivabilă parțial în punctul $\left(0,0\right)$ .

Considerăm funcția $\omega : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ definită prin

$\omega\left(x,y\right) = \begin{cases} \dfrac{f\left(x,y\right) - f\left(0,0\right) - x\cdot\diffp{f}{x}\left(0,0\right) - y \cdot \diffp{f}{y}\left(0,0\right)}{\sqrt{x^2 + y^2}}, \enskip \left(x,y\right) \ne \left(0,0\right) \\ 0, \enskip \left(x,y\right) = \left(0,0\right), \end{cases}$

adică

$\omega\left(x,y\right) = \begin{cases} \sqrt{x^2 + y^2} \cdot \sin \dfrac{1}{x^2 + y^2}, \enskip \left(x,y\right) \in \left(0,0\right) \\ 0,\enskip \left(x,y\right) = \left(0,0\right).\end{cases}$

Studiem continuitatea funcției $\omega$ în punctul $\left(0,0\right)$ . Fie $\left(x_n\right)_{n\ge 1}$ un șir de numere reale cu $\lim\limits_{n \to \infty} x_n = 0$ . Cum

$\begin{align*} \lim\limits_{\left(x,y\right) \to \left(0,0\right)} \omega\left(x,y\right) &= \lim\limits_{n \to \infty} \omega\left(x_n, mx_n\right) \\&= \lim\limits_{n \to \infty} |x_n| \sqrt{1+m^2} \sin \frac{1}{x_n^2\left(1+m^2\right)} = 0, \end{align*}$