AM2-Curs-05

Extremele locale ale unei funcții reale de mai multe variabile reale

Fie D\subset\mathbb{R}^n și funcția f:D\to\mathbb{R}. Punctul x^0\in D se numește punct de minim local al funcției f, dacă există V\in\mathcal{V}(x^0) astfel încât

(1)   \begin{equation*} f\left(x\right)\geq f\left(x^0\right)\,,\quad\forall\;x\in V\cap D\,; \end{equation*}

punctul x^0\in D este punct de maxim local al funcției f, dacă există V\in\mathcal{V}(x^0), astfel încât

(2)   \begin{equation*} f(x)\leq f(x^0)\,,\quad\forall\;x\in V\cap D\,. \end{equation*}

Numărul f\left(x^0\right) se numește minimul local, respectiv maximul local al funcției f. Punctele de minim local și punctele de maxim local se numesc puncte de optim (extrem) local ale funcției f.

Dacă inegalitatea (1) sau (2) are loc pentru orice x\in D, atunci spunem că x^0 este un punct de optim global.

Definiție. Fie D\subset\mathbb{R}^n, x^0\in\mathbb{R}^n și f:D\to\mathbb{R}, o funcție diferențiabilă în punctul x^0\in D. Dacă d_{x^0} f=0 sau \frac{ \partial f}{ \partial x_i}\,(x^0)=0,\;\forall \;i=\overline{1,n}, atunci spunem că x^0 este punct staționar (sau punct critic) al funcției f.

Teoremă. Fie D\subset\mathbb{R}^n o mulțime deschisă și convexă, f:D\to\mathbb{R} o funcție de clasă C^2(D) și x^0\in D un punct critic al funcției f. Atunci 

  • dacă d^2_{x^0} f(h) este o formă pătratică pozitiv definită, atunci x^0 este un punct de minim local al funcției f,
  • dacă d^2_{x^0} f(h) este negativ definită, atunci x^0 este un punct de maxim local al funcției f,
  • dacă d^2_{x^0} f(h) este o formă pătratică nedefinită, atunci x^0 nu este un punct de optim local al funcției f.

Pentru următorul rezultat vom folosi notația

    \[a_{ij}=a_{ji}=\frac{ \partial^2 f}{ \partial x_i\,\partial x_j}\,(x^0), \, i,j\in \left\{1,n\right\}\]

situație în care diferențiala Fréchet de ordinul doi a funcției f devine forma pătratică

(3)   \begin{equation*}d^2_{x^0}f(h)=\sum\limits^n_{i=1}\sum\limits^n_{j=1}\, a_{ij}\,h_i\,h_j\,,\quad\for\;h=(h_1,h_2,\dots,h_n)\in\mathbb{R}^n. \end{equation*}

Teoremă. Fie D\subset\mathbb{R}^n o mulțime deschisă, x^0\in D un punct critic al funcției f, unde f:D\to\mathbb{R} este o funcție de clasă C^2(D). Atunci

  • Dacă

        \[\Delta_1=a_{11}>0,\;\Delta_2=\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12}\\[5pt] a_{21} & a_{22} \end{array}\right|>0,\dots,\Delta_n=\left| \begin{array}{llll} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n}\\[5pt] a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n}\\[5pt] \cdot & \cdot & \dots & \cdot \\[5pt] a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|>0\,,\]

    atunci x^0 este un punct de minim local al funcției f.

  •  Dacă

        \[\Delta_1=a_{11}<0,\quad\Delta_2=\left| \begin{array}{ll} a_{11} & a_{12}\\[5pt] a_{21} & a_{22} \end{array}\right|>0,\quad\Delta_3<0,\dots,(-1)^n\Delta_n>0\,,\]

    atunci x^0 este un punct de maxim local al funcției f.

Un exemplu de aplicare a acestui rezultat poate fi consultat aici.


Partea a doua a acestui curs poate fi consultată aici.