AM2-Curs-05
Extremele locale ale unei funcții reale de mai multe variabile reale
Fie și funcția . Punctul se numește punct de minim local al funcției , dacă există astfel încât
(1)
punctul este punct de maxim local al funcției , dacă există , astfel încât
(2)
Numărul se numește minimul local, respectiv maximul local al funcției . Punctele de minim local și punctele de maxim local se numesc puncte de optim (extrem) local ale funcției .
Dacă inegalitatea (1) sau (2) are loc pentru orice , atunci spunem că este un punct de optim global.
Definiție. Fie , și , o funcție diferențiabilă în punctul . Dacă sau , atunci spunem că este punct staționar (sau punct critic) al funcției .
Teoremă. Fie o mulțime deschisă și convexă, o funcție de clasă și un punct critic al funcției . Atunci
- dacă este o formă pătratică pozitiv definită, atunci este un punct de minim local al funcției ,
- dacă este negativ definită, atunci este un punct de maxim local al funcției ,
- dacă este o formă pătratică nedefinită, atunci nu este un punct de optim local al funcției .
Pentru următorul rezultat vom folosi notația
situație în care diferențiala Fréchet de ordinul doi a funcției devine forma pătratică
(3)
Teoremă. Fie o mulțime deschisă, un punct critic al funcției , unde este o funcție de clasă . Atunci
- Dacă
atunci este un punct de minim local al funcției . - Dacă
atunci este un punct de maxim local al funcției .
Un exemplu de aplicare a acestui rezultat poate fi consultat aici.
Partea a doua a acestui curs poate fi consultată aici.
Pentru a studia reprezentarea grafică a unor funcții de două variabile puteți folosi CalcPlot3D.
Comentarii recente