AM2-Curs-07

Sume Darboux

Fie f:[a,b] \to \mathbb{R} o funcţie mărginită, adică există m, M \in \mathbb{R} astfel încât

    \[m \le f(x) \le M, \forall x\in \left[a,b\right]. \]

Fie \Delta = \left( a = x_0 <x_1<x_2 \ldots < x_n = b\right) \in Div[a,b] o diviziune a intervalului [a,b], iar m_i, M_i \in \mathbb{R} fie marginea inferioară, respectiv marginea superioară, a funcţiei f pe subintervalul \left[x_i, x_{i+1}\right] \subset [a,b], oricare ar fi 0\le i \le n-1, i\in \mathbb{N}.

Definiţie. Numărul real

    \[s(f,\Delta)=\sum\limits_{k=0}^{n-1} m_k \cdot \left(x_k - x_{k-1}\right)\]

se numeşte suma Darboux inferioară ataşată funcţiei f şi diviziunii \Delta.

Numărul real

    \[S(f,\Delta)=\sum\limits_{k=0}^{n-1} M_k \cdot \left(x_k - x_{k-1}\right)\]

se numește suma Darboux superioară ataşată funcţiei f şi diviziunii \Delta.

O reprezentare grafică a sumelor Darboux poate fi găsită aici.

Definiţie. Numim integrala Darboux inferioară numărul

    \[I_{i}\left(f\right) = \sup\left\{s(f,\Delta), | \Delta \in Div[a,b] \right\},\]

iar integrala Darboux superioară este numărul

    \[I_{s}\left(f\right) = \inf\left\{s(f,\Delta), | \Delta \in Div[a,b] \right\}.\]

Detalii.

Criterii de integrabilitate Riemann

Teoremă (Criteriul lui Darboux de integrabilitate Riemann) Funcția mărginită f: \left[a,b\right] \to \mathbb{R} este integrabilă Riemann pe intervalul [a,b] dacă și numai dacă pentru orice \varepsilon > 0 există \delta >0 astfel încât pentru orice \Delta \in Div\left[a,b\right] cu \nu \left( \Delta \right) < \delta are loc inegalitatea

    \[S\left(f,\Delta \right) - s \left( f,\Delta\right) < \varepsilon.\]

Printre consecințele acestui rezultat se numără:

Teorema 1. Orice funcție continuă  f: \left[a,b\right] \to \mathbb{R} este integrabilă Riemann pe intervalul \left[a,b\right].

Teorema 2. Orice funcție monotonă  f: \left[a,b\right] \to \mathbb{R} este integrabilă Riemann pe intervalul \left[a,b\right].

Teorema 3. Orice funcție mărginită  f: \left[a,b\right] \to \mathbb{R} care are un număr finit de puncte de discontinuitate, este integrabilă Riemann pe intervalul \left[a,b\right].