Tema 2a-AM2

am2c1p1. Fie funcția $f:\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\to\mathbb{R}$ , definită prin

$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$

și $x_0=\left(0,0\right)$ . Determinați limitele parțiale și limitele iterate ale funcției $f$ în punctul $x_0$ .

am2c1p2. Fie funcția $f:\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\to\mathbb{R}$ ,

$f(x,y)=\frac{1}{x^2+y^2}\,,\quad\forall\;(x,y)\in\mathbb{R}^2 \setminus\{(0,0)\}\,.$

Arătați că $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} f\left(x,y\right) =+\infty$ .

am2c1p3. Calculați limita

$l=\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{xy}{x+y}.$

am2c1p4. Calculați limita șirului $\left(x^{(k)}\right))_{k\in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R}^n$ cu termenul general dat de

$x^{(k)} = \left( \sqrt[3]{k+1} - \sqrt[3]{k}, \dfrac{1}{k} \cos \dfrac{1}{k}, \left(\dfrac{k^2-1}{k^2+1}\right)^{k^2} \right),$

unde $k\in \mathbb{N}^\ast$ .

am2c1p5. Fie funcția $f:\mathbb{R}^2\smallsetminus\{(0,0)\}\to \mathbb{R}^2$ , dată prin

$f(x,y)=\left(f_1(x,y),\;f_2(x,y)\right),$

unde

$f_1(x,y)=xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} \text{ \c si } f_2(x,y)=y^2\ln\left(1+\frac{x^2}{y^2}\right),$

pentru orice $(x,y)\in\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$ . Calculați $\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)$ .