Tema 2b-AM2

am2c2p1 Studiați continuitatea funcției f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin

    \[f\left(x\right) = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{x^2 + xe^{nx}}{1+e^{nx}}.\]

am2c2p2 Determinați mulțimea punctelor de discontinuitate pentru funcțiile

  1. f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} unde

        \[f\left(x,y\right) = \ln\left(x^2+y^2\right), \text{ dac\u a } x^2+y^2\ne 0 \]

    și

        \[f\left(x,y\right) = 0, \text{ dac\u a } x^2+y^2=0. \]

  2. f:D\to \mathbb{R} cu D = \left\{ \left(x,y\right)\in \mathbb{R}^2 | x^2+y^2 \le 1 \right\} unde

        \[f\left(x,y\right) = \frac{1}{1-x^2-y^2}, \text{ dac\u a } x^2+y^2<1 \]

    și

        \[f\left(x,y\right) = 0, \text{ dac\u a } x^2+y^2=1. \]

am2c2p3 Arătați că funcția f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} cu

    \[f\left(x,y\right) = \begin{cases} \frac{2xy}{x^2 + y^2} \text{ dac\u a } x^2+y^2 \ne 0 \\ 0 \text{ dac\u a } x=y=0 \end{cases} \]

nu este continuă în punctul a=\left(0,0\right), dar funcțiile reale obținute prin considerarea unei variabile ca fiind o constantă reală fixată sunt funcții continue.