Metoda comparației

Prin metoda comparației se rezolvă unele dintre problemele care se pot scrie sub forma

    \[ \begin{cases} a \cdot x + b \cdot y = M \\ c \cdot x + d \cdot y = N \end{cases} \]

unde a, b, c, d, M, respectiv N sunt cantități cunoscute, iar necunoscutele sunt x și y.

Un astfel de sistem se poate rezolva prin metoda reducerii. Se obține soluția

    \[ \begin{cases} x=\frac{Md-Nb}{ad-bc} \\ y=\frac{Na-Mc}{ad-bc} \end{cases} \]

Enunțul problemei trebuie să ofere informații referitoare la diverse asocieri între două sau mai multe categorii de obiecte. De exemplu, dacă avem două categorii de obiecte pentru care știm că la asocierea cantităților a și b se obține suma M, iar la la asocierea cantităților c și d se obține suma N. Metoda comparației presupune așezarea datelor problemei în următoarea formă

a cantitate I … … … b cantitate II … … … M (suma)

c cantitate I … … … d cantitate II … … … N (suma)

Pentru rezolvare se vor efectua calcule care vor genera relații echivalente ce vor permite eliminarea unei categorii/necunoscute și astfel posibilitatea determinării unei ecuații cu o singură necuoscută.

Problemă rezolvată

Problemă. [P:642, G.M. 12/2013] Cu 23 de lei putem cumpăra 5 kg de mere și 2 kg de pere, iar cu 24 de lei putem cumpăra 4 kg de mere și 3 kg de pere. Cât costă un kilogram de mere și cât costă un kilogram de pere?

Soluție

2015. Probleme propuse

Problema 1. [P:632, G.M. 11/2013] Andrei are mere și pere. Jumătate din numărul merelor și un sfert din cel al perelor reprezintă 14 fructe. O cincime din numărul merelor și jumătate din cel al perelor reprezintă 12 fructe. Câte fructe are Andrei?

Problema 2. [S:P13.146, G.M. 11/2013]  Opt creioane și cinci stilouri costă 51 de lei. Opt stilouri și patru creioane costă 64 de lei. Aflați cât costă fiecare obiect.

Problema 3. Pentru 5m de stofă și 2m de mătase s-au plătit 103 lei, iar pentru 3m de stofă și 4m de mătase, de același fel, s-au plătit 129 lei. Aflați cât costă un metru de stofă și care este prețul unui metru de mătase.

Problema 4. Se știe că 6 lădițe cu mure și 8 lădițe cu zmeură cântăresc 46 kg, iar o lădiță cu mure și 4 lădițe cu zmeură cântăresc 13 kg. Aflați cât cântărește o lădiță cu mure și cât cântărește o lădiță cu zmeură.