Metoda falsei ipoteze

Metoda falsei ipoteze se poate aplica cu succes la rezolvarea acelor probleme în care este cunoscut numărul total al unor obiecte împărțite în două categorii diferite. Pentru rezolvarea problemei este necesară și o informație referitoare la ”calitățile” prin care se diferențiază cele două tipuri de obiecte. Dacă notăm cu a și b numărul obiectelor din cele două categorii, iar n, m sunt ”calitățile” prin care se diferențiază obiectele din prima, respectiv din cea de a doua categorie, atunci problema se poate transcrie sub forma sistemului de ecuații

    \[ \begin{cases} a+b=S_1 \\ n\cdot a + m \cdot b =S_2\end{cases}\]

unde S_1, S_2 sunt valori cunoscute.

Rezolvarea sistemului precedent presupune înmulțirea primei ecuații a sistemului cu n sau m, după care  prin scăderea celor două ecuații se obține

    \[\left(n-m\right) \cdot b = n \cdot S_1 - S_2, \]

respectiv

    \[\left(m-n\right) \cdot a = m \cdot S_1 - S_2,\]

ecuații din care se pot obține necunoscutele, mai exact

    \[\begin{cases} a = \frac{m \cdot S_1 - S_2}{m-n}\\ b = \frac{n \cdot S_1 - S_2}{n-m} \end{cases}.\]

Rezolvarea problemei prin metoda falsei ipoteze se bazează pe calculele precedente. Mai exact, pentru început se presupune că toate obiectele sunt de un anumit tip, ceea ce presupune înmulțirea lui S_1 cu unul din numerele n, respectiv m. Pentru exemplificare, considerăm în continuare că n>m și facem înmulțirea cu n. Atunci diferența dintre n \cdot S_1 și S_2 este datorată diferenței  n-m dintre cele două categorii de obiecte, astfel că împărțirea \left( n \cdot S_1 - S_2 \right) : \left(n-m\right) ne oferă numărul obiectelor din cea de a doua categorie, deci

    \[b = \left( n \cdot S_1 - S_2 \right) : \left(n-m\right),\]

iar a = S_1 - b. Analog, se poate rezolva problema dacă se presupune că toate obiectele sunt din cea de a doua categorie.

Probleme rezolvate

Problema 1. La un concert prețul unui bilet la lojă este 70 lei, iar prețul unui bilet în sală este de 55 lei. Câte bilete din fiecare tip s-au vândut, dacă se știe că s-au încasat 5875 lei pentru cele 100 de bilete vândute. [Soluție]

Problema 2. [P:643, G.M. 12/2013]
În 15 vase cu capacitatea de 2 litri, respectiv 5 litri avem 60 litri de apă. Câte vase de fiecare fel avem? [Soluție]

Problema 3. [S:P15.151, G.M. 10/2015]
La un concurs online de matematică Corina are de rezolvat 50 de probleme. Pentru fiecare problemă rezolvată corect primește 5 puncte, iar pentru fiecare problemă greșită pierde 6 puncte. Știind că a obținut 140 de puncte aflați câte probleme a rezolvat corect. [Soluție]

Problema 4. La o librărie s-au adus 435 de cutii care conțin 4800 de creioane negre și roșii. Creioanele negre au fost ambalate câte 10 în fiecare cutie, iar cele roșii câte 12 creioane în fiecare cutie. Câte cutii de fiecare fel s-au adus? [Soluție]

Probleme propuse

Problema 1. [Concursul interjudețean de matematică și informatică Marian Țarină, 2012]

În curtea sa Ionel,
Are rațe, capre și-un cățel.
Capete sunt patruzeci,
Iar picioare nouăzeci.
N-aveți cum să numărați,
Dar puteți să calculați.
Veți putea afla voi oare
Câte sunt de fiecare?

Problema 2. [P:582, G.M. 5/2013]
La un concurs al preșcolarilor au participat 33 de copii, fiecare cu trotineta sau tricicleta sa, în total fiind 80 de roți. Câți copii au trotinete și câți au triciclete?

Problema 3. [S:P11.332, G.M. 11/2012]
Pentru clasa pregătitoare s-au cumpărat 23 de păpuși, unele cu 25 de lei și altele de 35 de lei, achitându-se în total 645 de lei. Câte păpuși s-au cumpărat de fiecare fel?