AM2-Curs-04

Diferențiala Fréchet

Definiție. Fie $D\subset\mathbb{R}^n$ o mulțime deschisă, $x^0\in D$ și $f:D\to\mathbb{R}$ o funcție. Spunem că funcția $f$ este diferențiabilă în sens Fréchet în punctul $x^0$ (sau simplu, $f$ este diferențiabilă în punctul $x^0$ ) dacă există o aplicație liniară $L_{x^0}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ astfel ca pentru orice $h=(h_1, h_2,\dots,h_n)\in\mathbb{R}^n$ pentru care $x_0+h\in D$ să aibă loc relația

(1) $\begin{equation*} \lim\limits_{h\to \mathbf{0}}\,\frac{f(x^0+h)-f(x^0)-L_{x^0}(h)} {\|\,h\,\|}=0\,, \end{equation*}$

unde $\|h\|=(h_1^2+h_2^2+\cdots+h_n^2)^{1/2}$ este norma euclidiană din $\mathbb{R}^n$ .

Dacă funcția $f$ este diferențiabilă în punctul $x^0$ , atunci aplicația liniară $L_{x^0}\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$ se numește derivata în sens Fréchet sau derivata tare a funcției $f$ în punctul $x_0$ și o notăm cu

$L_{x^0}=f^\prime(x^0)\,,\quad x^0\in D$

Atunci pentru orice $h\in\mathbb{R}^n$ , funcția $L_{x^0}(h)$ se numește diferențiala în sens Fréchet sau diferențiala tare a funcției $f$ în punctul $x^0\in D$ și se notează

$L_{x^0}(h)=f'(x^0)(h)=d f(x^0)(h)=d_{x^0} f(h)\,, \quad\for\;h\in\mathbb{R}^n,\;x^0+h\in D$

Teoremă. Dacă $D\subset\mathbb{R}^n$ este o mulțime deschisă, $x^0\in D$ și $f:D\to\mathbb{R}$ este diferențiabilă în sens Fréchet în $x^0$ , atunci diferențiala în sens Fréchet a funcției $f$ în punctul $x_0$ este unică.

Teoremă. O funcție diferențiabilă Fréchet într-un punct este continuă în acel punct.

Teoremă. Dacă $D\subset\mathbb{R}^m$ este deschisă, $x^0\in D$ și $f:D\to\mathbb{R}$ este diferențiabilă în $x^0$ , atunci diferențiala Fréchet a lui $f$ în $x^0$ are expresia

(2) $\begin{equation*} d_{x^0}f(h)=\sum\limits^m_{i=1}\,\frac{\partial f}{\partial x_i} (x_0)h_i\,,\quad\for\;h=(h_1,h_2,\dots,h_m)\in\mathbb{R}^m. \end{equation*}$

Teoremă. Fie $D\subset\mathbb{R}^n$ este o mulțime deschisă, $x^0\in D$ . Dacă funcția $f:D\to\mathbb{R}$ este diferențiabilă în sens Fréchet în $x^0$ , atunci există $L\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$ și funcția $\varphi : D \to \mathbb{R}$ continuă în punctul $x^0$ pentru care $\varphi\left(x^0\right)=0$ și