AM2-Curs-04
Diferențiala Fréchet
Definiție. Fie o mulțime deschisă,
și
o funcție. Spunem că funcția
este diferențiabilă în sens Fréchet în punctul
(sau simplu,
este diferențiabilă în punctul
) dacă există o aplicație liniară
astfel ca pentru orice
pentru care
să aibă loc relația
(1)
unde este norma euclidiană din
.
Dacă funcția este diferențiabilă în punctul
, atunci aplicația liniară
se numește derivata în sens Fréchet sau derivata tare a funcției
în punctul
și o notăm cu
Atunci pentru orice , funcția
se numește diferențiala în sens Fréchet sau diferențiala tare a funcției
în punctul
și se notează
Teoremă. Dacă este o mulțime deschisă,
și
este diferențiabilă în sens Fréchet în
, atunci diferențiala în sens Fréchet a funcției
în punctul
este unică.
Teoremă. O funcție diferențiabilă Fréchet într-un punct este continuă în acel punct.
Teoremă. Dacă este deschisă,
și
este diferențiabilă în
, atunci diferențiala Fréchet a lui
în
are expresia
(2)
Teoremă. Fie este o mulțime deschisă,
. Dacă funcția
este diferențiabilă în sens Fréchet în
, atunci există
și funcția
continuă în punctul
pentru care
și
O aplicație a acestui rezultat se pate găsi în următorul Exemplu.
Comentarii recente