AM2-Curs-04
Diferențiala Fréchet
Definiție. Fie o mulțime deschisă, și o funcție. Spunem că funcția este diferențiabilă în sens Fréchet în punctul (sau simplu, este diferențiabilă în punctul ) dacă există o aplicație liniară astfel ca pentru orice pentru care să aibă loc relația
(1)
unde este norma euclidiană din .
Dacă funcția este diferențiabilă în punctul , atunci aplicația liniară se numește derivata în sens Fréchet sau derivata tare a funcției în punctul și o notăm cu
Atunci pentru orice , funcția se numește diferențiala în sens Fréchet sau diferențiala tare a funcției în punctul și se notează
Teoremă. Dacă este o mulțime deschisă, și este diferențiabilă în sens Fréchet în , atunci diferențiala în sens Fréchet a funcției în punctul este unică.
Teoremă. O funcție diferențiabilă Fréchet într-un punct este continuă în acel punct.
Teoremă. Dacă este deschisă, și este diferențiabilă în , atunci diferențiala Fréchet a lui în are expresia
(2)
Teoremă. Fie este o mulțime deschisă, . Dacă funcția este diferențiabilă în sens Fréchet în , atunci există și funcția continuă în punctul pentru care și
O aplicație a acestui rezultat se pate găsi în următorul Exemplu.
Comentarii recente