AM2-Curs-12

Integrale iraționale

Aici vor fi prezentate substituțiile lui Euler utile la determinarea primitivelor unor funcții iraționale prin reducerea la integrale raționale. Mai exact, vom considera integralele de forma

(1) $\begin{equation*} \int\limits_{\alpha }^{\beta }{R}\left( {x,\sqrt{ax^{2}+bx+c}}\right) dx, \end{equation*}$

unde $R(x,y)=\dfrac{P(x,y)}{Q(x,y)}$ este o funcție rațională în două variabile.

Integrala (1) se reduce întotdeauna la o integrală rațională dacă următoarele condiții sunt satisfăcute:

a) $Q\left( {x,\sqrt{ax^{2}+bx+c}}\right) \ne 0$ , oricare ar fi $x\in \left[\alpha ,\beta \right]$ ;

b) $ax^{2}+bx+c\ge 0$ , pentru orice $x\in \left[\alpha ,\beta \right]$ ;

c) $a \ne 0$ și $\Delta =b^{2}-4ac\ne 0$ .

Reducerea unei integrale de forma (1) la o integrală rațională se poate realiza prin intermediul schimbărilor de
variabile ale lui Euler.

Cazul 1

Dacă $a>0$ se poate face schimbarea de variabilă

(2) $\begin{equation*} \sqrt{ax^{2}+bx+c}:=t-\sqrt{a}x, \end{equation*}$

care implică

$x:=u(t)=\dfrac{t^{2}-c}{2\sqrt{a}t+b}.$

Deoarece $t$ este o funcție continuă în variabila $x$ , dacă $x$ parcurge intervalul $\left[\alpha ,\beta \right]$ , atunci $t$ parcurge intervalul $[t_{1},t_{2}]$ , unde $t_{1}$ și $t_{2}$ se obțin din (2) pentru $x = \alpha$ , respectiv $x= \beta$ .

Atunci integrala (1) devine

$\int\limits_{t_{1}}^{t_{2}}{R(u(t),t-\sqrt{a}\cdot u(t))\cdot {u}^{\prime }(t)dt}=\int\limits_{t_{1}}^{t_{2}}{R_{1}(t)dt},$

unde $R_{1}$ este o funcție rațională în variabila $t$ .

Cazul 2

Dacă $c>0$ se poate face schimbarea de variabilă

(3) $\begin{equation*} \sqrt{ax^{2}+bx+c}:=tx+\sqrt{c}. \end{equation*}$

Se exprimă $x$ în funcție de $t$ și se obține

$x=u(t)=\dfrac{2\sqrt{c}t-b}{a-t^{2}},$

cu $t\in \left[t_{1},t_{2}\right]$ . Integrala (1) devine

$\int\limits_{t_{1}}^{t_{2}}{R(u(t),tu(t)+\sqrt{c}){u}^{\prime }(t)dt}=\int\limits_{t_{1}}^{t_{2}}{R_{2}(t)dt},$

unde $R_{2}$ este o funcție rațională în variabila $t$ .

Cazul 3

Dacă $\Delta =b^{2}-4ac>0$ , adică trinomul de gradul doi $ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$ are rădăcinile reale și distincte $x_{1} \ne x_{2}$ .
Se poate face una din schimbările de variabilă