AM2-Curs-06

Integrala Riemann

Definiție. Numim diviziune a intervalului compact $\left[a,b\right]\subset \mathbb{R}$ orice mulţime ordonată

$\Delta = \left\{a=x_0<x_1 < x_2 < \ldots < x_{n-1}< x_n = b \right\}$

Vom nota cu $\mathcal{D}iv\left[a,b\right]$ mulţimea tuturor diviziunilor intervalului compact $\left[a,b\right]\subset \mathbb{R}$ .

Diviziunea echidistantă a unui interval este acea diviziune pentru care distanţa între oricare două noduri consecutive este aceeaşi, adică

$\Delta_e = \left\{ x_i = a+ \frac{b-a}{n}\cdot i, \enskip i=\overline{0,n} \right\}\in \left[a,b\right].$

Definiție. Numim normă a diviziunii $\Delta \in \left[a,b\right]$ numărul

$\nu\left(\Delta\right) = \max\limits_{1\le i \le n} \left( x_i - x_{i-1} \right).$

Practic, norma unei diviziuni este lungimea celui mai mare subinterval $\left[x_{i-1},x_i\right]\subset \left[a,b\right]$ , $i=\overline{1,n}$ al diviunii $\Delta$ .

Definiție. Fie $\Delta \in \left[a,b\right]$ . Numim sistem de puncte intermediare asociat diviziunii $\Delta$ orice mulţime

$\xi = \left\{ \xi_i , \enskip \xi_i \in \left[x_{i-1}, x_i\right], i=\overline{1,n} \right\}.$

Vom nota cu $P\left(\Delta\right)$ mulţimea tuturor sistemelor de puncte intermediare ataşat unei diviziuni $\Delta \in \left[a,b\right]$ .

Definiție. Fie $\left[a,b\right] \subset \mathbb{R}$ un interval compact, $f:\left[a,b\right] \to \mathbb{R}$ o funcţie mărginită, $\Delta = \left\{a=x_0<x_1 < x_2 < \ldots < x_{n-1}< x_n = b \right\}$ o diviziune a intervalului $\left[a,b\right]$ şi $\xi = \left\{ \xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n \right\}$ un sistem de puncte intermediare ataşat diviziunii $\Delta$ . Numim sumă Riemann asociată funcţiei $f$ , diviziunii $\Delta$ şi sistemului de puncte intermediare $\xi$ , numărul real

$\sigma\left(f,\Delta,\xi\right) = \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_i\right) \cdot \left(x_i - x_{i-1}\right).$

Un exemplu de calcul al unei sume Riemann poate fi găsit aici.

Reprezentări grafice pentru diverse sume Riemann pot fi obținute aici.

Definiție. Fie $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ o funcția mărginită. Spunem că funcția $f$ este integrabilă în sens Riemann pe intervalul compact $[a,b]$ dacă există numărul real $I$ astfel încât oricare ar fi șirul de diviziuni $\left\{\Delta_n\right\}_{n\in\mathbb{N}^*}$ al intervalului $[a,b]$ cu proprietatea că $\lim\limits_{n\to\infty}\left\|\Delta_n\right\|=0$ și oricare ar fi sistemul de puncte intermediare $\xi=\left\{\xi_i\in[x_{i-1}, x_i],\,\, i=\overline{1,n}\right\}\in P\left(\Delta_n\right)$ să rezulte că