Lista cu probleme propuse la concursuri de matematică

2023

a) Arătați că 5 > \pi \sqrt[10]{3^3}.

b) Fie x, y, z trei numere strict pozitive astfel încât x+y+z=\pi. Arătați că

    \[\frac{1}{\pi^{\sin 2x}} + \frac{1}{\pi^{\sin 2y}} + \frac{1}{\pi^{\sin 2z}} + \pi^{\sin x \cdot \sin y \cdot \sin z} > \pi.\]

Clasa a X-a
Concursul Interjudețean de Matematică ”SIGMA”, Sighetu Marmației, 2023
[Soluție]

2011

4. Într-un triunghi ABC cu \sphericalangle A>90^\circ, se consideră bisectoarea AD, D\in (BC). Perpendiculara dusă prin punctul D pe dreapta AC intersectează dreapta AB în E, iar dreapta AC în G.

a) Demonstrați că AE\equiv AC dacă și numai dacă CE\| AD.

b) Fie F\in AB astfel încât GF\| AD\|CE. Demonstrați că CF\perp AB.

Clasa a VI-a
Concursul Interjudețean de Matematică ”Gr. Moisil”, Tg. Mureș, 2011
[Soluție]

2010

3.Determinați produsul P=a\cdot b\cdot c\cdot d, unde a,b,c, respectiv d, sunt patru numere prime, astfel încât a<b<c<d, a+b+c+d=77, iar 4b+c+9d=620.

Clasa a VI-a
Concursul Interjudețean de Matematică ”Gr. Moisil”, Zalău, 2010
[Soluție]

2005

2.  Se consideră triunghiul ABC și numărul  natural n\in \mathbb{N}^*. Fie B^\prime, C^\prime mijloacele laturilor [AC], respectiv [AB] și punctele M_n \in [BC], N_n \in [BB^\prime] astfel încât \overrightarrow{BM_n} = \dfrac{1}{2n}\overrightarrow{BC}, respectiv \overrightarrow{BN_n} = \dfrac{1}{n+1}\overrightarrow{BB^\prime}. Arătați că:

a) Punctele C^\prime, N_n, M_n sunt coliniare pentru n\in \mathbb{N}^*.

b) \overrightarrow{N_2M_2} + \overrightarrow{N_3M_3} + \ldots +\overrightarrow{N_nM_n} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{C^\prime N_2} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{C^\prime N_3} + \ldots +\dfrac{1}{n}\overrightarrow{C^\prime N_n} pentru orice  n\in \mathbb{N}^*.

Clasa a IX-a
Concursul Interjudețean de Matematică ”Gr. Moisil”, Baia Mare, 2005
[Soluție]

1. Fie a>0. Determinați n\in\mathbb{N} pentru care

    \[ \left(1+a+a^2+\dots+a^n\right)\left(1+a^{n+1}\right)= \left(1+a\right)\left(1+a^2\right)\left(1+a^4\right)\dots \left(1+a^{2^n}\right).\]

Clasa a VIII-a
Concursul Interjudețean de Matematică ”Gr. Moisil”, Baia Mare, 2005
[Soluție]